ท่องเว็บมาได้นานพอสมควร
เห็นว่าไม่ค่อยมีใครเขียนเรื่องแนวนี้
ก็รู้สึกน่าเสียดายเหมือนกันนะครับ

เลยคิดว่า ถ้าเราไม่ลงมือเขียนเอง
ไม่ต้องรอให้คนอื่นมาเขียนให้อ่าน
แม้จะผิดบ้างถูกบ้าง แต่ก็ยังดี

คิดได้ก็งัดเอาความรู้ที่ผมเคยผจญภัย
เอามาเขียนลงให้ทุกๆ คนอ่านกันครับ
บางเรื่องก็ง่าย บางเรื่องก็ยาก
จะพยายามเขียนให้อ่านรู้เรื่องนะครับ ^^”

ยังไงก็ขอฝากผลงานใหม่ด้วยนะครับ
(เฮ้ย! ของเก่าก็เลิกดองซักทีเซ่)

ต้นตอของเรื่องนี้เกิดจากสายไฟครับ
สายที่ถูกแขวนระหว่างเสาไฟนั่นแหละ
ปรกติผมก็ไม่ได้สนใจมันหรอกครับ
เพราะมันขึงไว้เกือบตึง ไม่สะดุดตา

แต่วันนั้นช่างไฟเขามาขึงสายไฟใหม่
ผมก็ดูเขาขึงสาย แล้วก็คิดเรื่อยเปื่อย
อึ่ม ทำไมมันย้อยเป็นรูปสวยงามจัง
เหมือนกันรูปพาราโบลาที่เคยเรียนเลย

(ตอนที่เห็นนั้นผมก็ไม่รู้หรอกครับ
ว่ารูปร่างเชือกนี้มีชื่อเรียกอย่างไร
เลยหาบทพิสูจน์เอาในเน็ตไม่เจอ
กว่าจะรู้ก็หลังจากนั้นได้ปีนึงเลย)

พอว่างๆ ก็ลองเขียนๆ สมการเล่น
ได้ว่ารูปร่างเส้นเชือกที่ตกท้องช้าง
แปรผันกับการปริพันธ์ของสมการ
ความแตกต่างของมวลซ้ายกับขวา

ซึ่งสมการความแตกต่างของมวลเชือก
โดยทั่วไปนั้น เป็นสมการเส้นตรง
พอปริพันธ์ ก็จะได้สมการกำลังสอง

สมการรูปร่างเส้นเชือกที่ผมคิดไว้

\[\begin{align*} y &= kx^2 \\ k &= \text{อะไรก็จำไม่ได้แล้ว...} \end{align*}\]

(สมการกำลังกสองธรรมด้าธรรมดา)

หลังจากกำหนดสมการเชือกได้แล้ว
ก็ทำการทดลองอีกนิดๆ หน่อยๆ
ผลการทดลองคือตรงเป็นส่วนใหญ่
จะคลาดเคลื่อนมากๆ ตรงท้องเชือก
ซึ่งผมก็ไม่ได้เอะใจอะไรมากนัก

แต่ก็ลองเอาไปถามดูในวิชาการ.คอม
ก็ได้พี่ GFK ช่วยคอมเมนต์และแก้ไขให้
จึงได้รู้ว่าที่จริง มันไม่ใช่รูปพาราโบลา
แต่เป็นคอสไฮเปอร์โบลาต่างหาก

จะพิสูจน์อย่างเร็วและย่อนะครับ
อ่านไม่รู้เรื่องก็อย่าโทษกันหละ…
(ผมยังอ่านไม่รู้เรื่องเลย)

สัญลักษณ์
$\mu$ คือ มวลของเชือกต่อหน่วยความยาว (ตามแนวเชือก)
$T$ คือ แรงตึงเชือกที่ จุด $(x,y)$ ใดๆ บนเส้นเชือก
$T_0$ คือ แรงตึงเชือกที่ จุด $(0,0)$
$s$ คือ ความยาวเชือกที่เริ่มวัดจากจุด $(0,0)$ ไปยังจุด $(x,y)$ บนเส้นเชือก

ก่อนอื่น จินตนาการรูปเชือกที่โดนแขวนนะครับ
(เพราะผมจะไม่วาดรูปให้ อิอิ)

สมดุลในแกน Y $(\sum F_y = 0)$
$(T + \Delta T) \sin(\theta + \Delta\theta) = T \sin\theta + \mu g \Delta s$

คูณกระจายและแตกฟังก์ชันไซน์
แล้วจึงค่อยให้ $\Delta\theta$ มีค่าน้อยๆ
$\cos\Delta\theta \approx 1$ และ $\sin\Delta\theta \approx \Delta\theta$
สมการนี้ก็จะกลายเป็น

\[T(\Delta\theta)\cos\theta + (\Delta T)\sin\theta + (\Delta T)(\Delta\theta)\cos\theta = \mu g \Delta s\]

เนื่องจาก $(\Delta T)(\Delta\theta)\cos\theta$ มีค่าน้อยมาก
เมื่อเทียบกับ $T(\Delta\theta)\cos\theta$ และ $(\Delta T)\sin\theta)$
จึงไม่ต้องไปสนพจน์ $(\Delta T)(\Delta\theta)\cos\theta$
สมการจึงเหลือแค่

\[T(\Delta\theta)\cos\theta + (\Delta T)\sin\theta = \mu g \Delta s\]

จับ $\Delta\theta$ มาหารทั้งสมการ
แล้วเทคลิมิต $\Delta\theta \to 0$ ก็จะได้

\[\frac{d}{d\theta} T\sin\theta = \mu g \frac{ds}{d\theta}\]

ชี้แจงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์อนุพันธ์
ผมชอบเขียนให้ $d/d\theta$ ชิดกันอย่างนี้
แล้วค่อยใส่ฟังก์ชันที่จะหาอนุพันธ์ด้านหลัง
ก็คือเขียนแบบนี้ $d/d\theta(\dots)$
(ไม่ชอบเขียนแบบนี้ $d\dots/d\theta$)
แต่ถ้ามีตัวแปรเดียวก็เขียน $ds/d\theta$ ครับ
หวังว่าคงไม่งงไปซะก่อนนะ…

แต่ $T\cos\theta = T_0$
และ $\tan\theta = dy/dx$
จึงได้ว่า

\[\frac{d}{d\theta}\left(T_0 \frac{dy}{dx}\right) = \mu g \frac{ds}{d\theta}\]

ได้แล้วก็เก็บไว้ก่อนนะ…

ต่อมาก็พิจรณาสมดุลในแกน X $(\sum F_x = 0)$
$(T + \Delta T)\sin(\theta + \Delta\theta) = T\cos\theta$

สมการสั้นกว่าแนวแกน Y ตั้งเยอะเนาะ
ทำเหมือนเดิมเลยครับ คูณกระจาย
แตกฟังก์ชันไซน์ ให้ $\Delta\theta$ มีค่าน้อยๆ
ก็จะได้สมการใหม่เป็น

\[T(\Delta\theta)\sin\theta + (\Delta T)\cos\theta + (\Delta T)(\Delta\theta)\sin\theta = 0\]

กำจัดตัวที่มีค่าน้อยๆ คือกำจัด $(\Delta T)(\Delta\theta)\sin\theta$
เพราะเมื่อเทียบกับ $T(\Delta\theta)\sin\theta$ และ $(\Delta T)\cos\theta$
แล้ว $(\Delta T)(\Delta\theta)\sin\theta$ มีค่าน้อยจนไม่ต้องสน
สมการจึงเหลือแค่

\[T(\Delta\theta)\sin\theta + (\Delta T)\cos\theta = 0\]

หาร $\Delta\theta$ แล้วเทคลิมิต $\Delta\theta \to 0$ ได้

\[\frac{d}{d\theta} T\cos\theta = 0\]

สมการนี้ชี้ว่า แรงตึงเชือกในแนวนอน
มีค่าเท่ากันตลอดทั้งเส้น และเนื่องจาก
$T\cos\theta = T_0$ (ยังจำได้มั้ย?)
จึงทำให้ $d/d\theta(T_0 dy/dx) = \mu g (ds/d\theta)$ เป็น

\[T_0 \frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \mu g \frac{ds}{d\theta}\]

ใช้กฎลูกโซ่เข้าช่วย และย้ายข้าง ได้

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\mu g}{T_0}\frac{ds}{dx}\]

และจากสมการหาความยาวเส้นกราฟ
คือ $ds/dx = \sqrt{1+(dy/dx)^2}$ จึงได้ว่า

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\mu g}{T_0} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\]

ถึงตอนนี้ กำหนดให้ $Y = dy/dx$ จะได้ว่า

\[\frac{dY}{dx} = \frac{μg}{T_0} \sqrt{1+Y^2}\]

แก้สมการนี้ด้วยการปริพันธ์
(ยาก+ยาว = ไม่พิมพ์ลงให้ละ อิอิ)
ท้ายที่สุด จะได้ออกมาว่า

\[y = \frac{T_0}{\mu g} \left( \cosh\frac{\mu g x}{T_0} + 1\right)\]

(อยากได้พิสูจน์ฉบับเต็ม เมลมาขอได้ครับ)

จัดรูปสมการให้สวยงาม ก็จะได้ว่า
สมการรูปร่างเส้นเชือก $(x,y)$ คือ

\[\begin{align*} y &= k \left(\cosh\frac{x}{k} - 1\right) \\ k &= \frac{T_0}{\mu g} \end{align*}\]

สำหรับฟังก์ชัน $y = \cosh x$
เป็นหนึ่งในไฮเปอร์โบลิกฟังก์ชัน
ที่มีลักษณะคล้ายพาราโบลามาก
กำหนดโดยเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

\[\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\]

ตอนแรกผมไม่ได้คิดถึง $\cosh x$ เลย
แต่พอได้อ่านพิสูจน์ใหม่ ก็เห็นด้วยครับ

และพอเทียบกับผลการทดลองที่มีอยู่
ก็พบว่าแทบไม่คลาดเคลื่อนเลยครับ

(อึ่ม… ไม่รู้จะจบยังไงแฮะ)
เอาเป็นว่า ขอจบตอนนี้เลยละกันครับ
หวังว่าจะได้รับความรู้ไปบ้างนะครับ ^^

อ้างอิง

• Meriam & Kraige , Engineering Mechanics (Statics) Fifth Edition , John Wiley