A conic section is already a great tool that helps us understand a quadratic equation visually. However, one might wonder: why bother cutting a double cone (a cone with two nappes) with a plane in the first place? Well, maybe we have to ask mathematicians from two thousand years ago. Nevertheless, let us explore an alternative method for constructing those curves that might help us understand them not only visually, but also intuitively.

Imagine that you’re a pixel on a 2D screen with the ability to move to adjacent pixels in 4 directions: left, right, up, and down. Your character can receive multiple movement commands simultaneously, and you’ll see the accumulated result as one big move (think of it as pressing D-pad diagonally). It is easy to see that you can move to any pixel on the screen, given that there’s no obstacles (and, for simplicity, we’ll considered there’s no obstacles for this entire post).

It is a truth universally acknowledged, that a quadratic equation in possession of good coefficients, must be in want of roots.

Factorial is a simple straightforward function. It’s the multiplication of integers from $1$ to $n$.

Consider a sphere in $n$ dimension (an $(n{-}1)$-sphere) with an unknown focus and radius. However, if we randomly choose $n{+}1$ points on its boundary, we can deduce this information. The system of equations for this calculation is:

เรารู้กันดีว่าเมื่อปาก้อนหินลงไปในน้ำ จะเกิดคลื่นผิวน้ำที่มีหน้าคลื่นแผ่ขยายเป็นรูปวงกลม เพื่อความง่ายเราจะกำหนดให้คลื่นเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ที่ $v$ เมตรต่อวินาทีไปเลย ดังนั้นเมื่อเวลาผ่านไป $t$ วินาที หน้าคลื่นก็จะมีรูปร่างเป็นวงกลมที่มีรัศมี $vt$ เมตรนั่นเอง

การสร้างภาพในคอมพิวเตอร์ก็คือการจัดการกับพิกัดจุดต่างๆ ซึ่งโดยมาก(และโดยพื้นฐาน)แล้วก็คือเราต้องการเลื่อน/ขยาย/หมุน/สะท้อนบรรดาจุดเหล่านั้นด้วยกฎเดียวกันเพื่อให้ผลลัพธ์พิกัดของทุกจุดไปอยู่ ณ ตำแหน่งที่ถูกต้องตามที่เราต้องการ ซึ่งถ้าเรายังจำกันได้จากความรู้ด้านพีชคณิตเชิงเส้น เราสามารถใช้เมทริกซ์เข้ามาช่วยคำนวณได้อย่างง่ายดาย

แฟร็กทัลตัวหนึ่งที่เรียบง่าย แล้วก็ซับซ้อน แล้วก็กลับมาเรียบง่าย แต่ก็ยังไม่ทิ้งลายความซับซ้อน คงหนีไม่พ้นเซต Cantor แบบสามส่วน ซึ่งมันเป็นเซตของจำนวนจริงในช่วงปิด $[0,1]$ ที่เขียนนิยามผ่านความสัมพันธ์เวียนเกิดได้ว่า

เรือใบนั้นเป็นเทคโนโลยีที่อยู่เคียงข้างมนุษยชาตินับพันปี ตั้งแต่ชาวโพลินีเซียที่แล่นเรือค้นพบหมู่เกาะในแปซิฟิค ชาวไวกิงกับเรือยาวอันน่าเกรงขาม กองเรือของเจิ้งเหอที่ส่งให้จีนเป็นมหาอำนาจ มาจนถึงยุคทองของการสำรวจที่ชาติต่างๆ ในยุโรปต่างแข่งขันกันเดินเรือเพื่อพิสูจน์ว่าโลกกลม

ตอนเรียนเรื่องการนับและการจัดหมู่ครั้งแรก เห็นนิยาม $n!$ กับ $n!/r!$ แล้วก็ไม่ได้ตะหงิดติดใจอะไร แต่พอมาถึง $\binom{n}{r}=n!/r!(n-r)!$ แล้วแอบคาใจแปลกๆ ว่าทำไมตัวเลขตัวนี้ถึงเป็นจำนวนเต็มได้ … แน่นอนหละว่ามันเป็นการนับ ยังไงซะเราคงไม่นับสิ่งที่สนใจด้วยเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเป็นแน่ แต่มันจะมีวิธีการพิสูจน์แบบอื่นที่อธิบายได้รัดกุม ขจัดปัดเป่าข้อข้องใจนี้ทิ้งไป ไม่ชวนให้กลับมาสงสัยซ้ำๆ ในอนาคตมั้ย?

คณิตศาสตร์นี้จะว่าไปก็เป็นวิชาที่แปลก เนื่องจากว่าหัวใจหลักของมันนั้นเน้นเรื่องความสมเหตุสมผล การทำงานอย่างเป็นระบบระเบียบมีขั้นตอนวิธีชัดเจน ไปจนถึงการพิสูจน์ว่าระบบนั้นทำงานได้อย่างถูกต้องตามหลักตรรกะในทุกกรณีไม่มีช่องโหว่หลงเหลือให้กังวลภายหลัง

ส่วนตัวเคยได้ยินมุกเชิง “ให้คนขับรถเลคเชอร์แทน” มานานมากแล้ว มีหลายเวอร์ชันด้วย เวอร์ชันที่เคยฟังแล้วพิสดารที่สุดนี่ถึงขั้นบอกว่าศาตราจารย์เหนื่อยมากจนขอหลับรอในรถ ส่วนฝั่งคนขับที่ขึ้นเลคเชอร์แทนนั้น เมื่อเจอคนฟังยกมือถามคำถามที่ยากเกินกว่าจะตอบได้ เขาเลยหาทางแก้ตัวด้วยการบ่ายเบี่ยงว่า “คำถามง่ายนี้มาก เดี๋ยวไปปลุกคนขับรถมาตอบให้”

ประเด็น 9÷3(1+2) วนกลับมาเป็นรอบที่ n จำได้ว่าเคยพูดถึงเรื่องนี้ไปหลายรอบแล้ว แต่พอมีข้อมูลใหม่ๆ เลยขอมาบ่น เอ้ย มาจดบันทึกความคิดตัวเองอีกซักรอบ

และนี่คือละครเพลงที่ทำให้ Wicked ชวดรางวัลใหญ่จาก Tony ในปี 2004 … ซึ่งก็นับว่าสมน้ำสมเนื้อแล้วเพราะมันสนุกสุดเหวี่ยง! (จนไม่อยากจะยอมรับเลยว่า พอเทียบกันแล้ว แม่มดเขียวแห่ง Oz กลายเป็นงานเด็กเล่นไปเลย 😜)