เมื่อต้นเดือน ได้มีโอกาสไปเป็นพี่ค่ายโอลิมปิกฟิสิกส์ดาราศาสตร์
เจอน้องกวนๆ คนนึง เป็นคนที่ต(ร)งมากๆ ได้ฝากคำถามมาว่า

“ถ้านำเลขจำนวนเต็มบวกมาเขียนในรูปการบวกของจำนวนเต็มบวก
แล้วเอาจำนวนที่กระจายนั้นมาคูณกัน ทำยังไงให้ได้ผลลัพท์มากที่สุด?”

อันนี้ไม่เคยทำ แต่จำได้ลางๆ ว่าเห็นผ่านๆ ใน My Math เลยตอบว่าทำได้
คุณน้องเลยตั้งคำถามต่อไปว่า “ถ้าขยายขอบเขตเป็นจำนวนจริงหละ”

คำตอบแรกที่แว๊บขึ้นมาในใจทันทีเลยคือ มันต้องเกี่ยวข้อกับค่า e แน่ๆ
แต่ด้วยความขี้เกียจ+ค่ายจัดบนดอยอินทนนท์ จะให้ขบปัญหาก็กระไรอยู่
ไปเที่ยวดอยให้สนุกดีกว่า (แม้จะมาเป็นรอบที่สี่ของปีนี้แล้วก็ตาม)

หลังจากลงดอยเสร็จ ก็ลืมเรื่องนี้ไปเลย …จนได้ไปฟังโปรเจค JSTP
ตอนนั้นอยู่ในอารมณ์ไหนไม่รู้ สงสัยเซ็งที่ฟังเด็กพรีเซนท์ไม่รู้เรื่องมั้ง
ก็แว๊บนึกถึงโจทย์ข้อนี้ขึ้นมาได้ เลยทดลองหาคำตอบตรงนั้นเลย
(นักคณิตศาสตร์เค้ามีแต่นั่งพิสูจน์ ไอ่นี่นั่งทดลอง 555)
(บ่นอีกนิด เซ็งมากลืมเครื่องคิดเลข ส่วนมือถือคิด ln ได้ แต่ไม่มี $e$ ให้ใช้)

สรุปว่า ทดลองยังไม่ทันเสร็จ ก็ต้องได้ฤกษ์กลับบ้านซะก่อน
เลยมาทำต่อที่บ้าน คราวนี้ได้ใช้ Excel แล้ว ง่ายขึ้นมากๆ เลย ^^
ทดลองเสร็จก็มานั่งพิสูจน์ต่อ ดังนี้

ก่อนอื่น แบ่งจำนวนจริงบวกเป็นสองส่วน ผลคูณที่มีค่ามากที่สุดหาได้จาก
ให้ $m_2(k) = k(n-k)$ เป็นฟังก์ชันผลคูณของเลขที่แบ่งส่วน
โดยให้ $n$ คือจำนวนจริงที่ต้องการแบ่งส่วน
และ $k$ คือตัวแปรที่ใช้เพื่อแบ่งส่วนจาก $n$

\[\begin{align*} \frac{d}{dx}m_2(k) &= n - 2k \\ 0 &= n - 2k \\ k &= \frac{n}{2} \end{align*}\]

หมายถึง เมื่อต้องการให้ได้ผลคูณมากที่สุด ต้องแบ่งทั้งสองสวนนี้เท่ากัน
ซึ่งสำหรับการแบ่งมากกว่าสองส่วน พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกันครับ ^^”
(ไม่ลงพิสูจน์ไว้ละ มันยาก+ยาว+ขี้เกียจ+ยังไม่ได้ลองทำ …เอ๋ ยังไงเนี่ย)

หลังจากที่ทราบวิธีแบ่งส่วนที่ดีที่สุดแล้ว คำถามต่อมาคือแบ่งกี่ส่วนดี?
ทำได้โดยกำหนดสมการ $m_x(k) = (\frac{k}{x})^x$
โดยที่ x คือจำนวนส่วนที่ต้องการแบ่ง

\[\begin{align*} \frac{d}{dx}m_x(k) &= \left(\frac{k}{x}\right)^x (\ln(k) - \ln(x) - 1) \\ 0 &= \left(\frac{k}{x}\right)^x (\ln(k) - \ln(x) - 1) \\ e &= \frac{k}{x} \end{align*}\]

แปลเป็นภาษาชาวบ้านๆ ก็คือ แบ่งให้แต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ $e$ นั่นเอง

แต่ในความเป็นจริงนั้น จำนวนจริงทุกตัวไม่ได้หาร $e$ ลงตัว
ตรงนี้ก็ไม่ยากอะไร จาก $x = \frac{n}{e}$ ได้ค่ามาเท่าไหร่ก็ปัดให้ใกล้ค่านั้น
ที่ต้องระวังคือ เมื่อหลังจุดทศนิยมมีค่าประมาณเลข 5 ต้องตรวจสอบให้ดี
เช่น $x = 1.48$ ปัดลงไม่ได้ เพราะแบ่ง 2 ส่วนแล้วผลคูณมีค่ามากกว่า
ทั้งนี้ก็เพราะว่า ฟังก์ชัน $e^x$ ไม่ใช่เส้นตรง จึงแบ่งครึ่งพอดีไม่ได้

เขียนทั้งหมดด้วยความมันส์ ก็หวังว่าท่านผู้อ่านคงจะมันส์ไปด้วยนะครับ
บวกกับแอบหวังเล็กๆ ว่าผู้อ่านจะได้รับความรู้กลับไปบ้าง ซักนิดก็ยังดี เนาะ!
แล้วพบกันใหม่เมื่อไอเดียบรรเจิดอีกรอบ สวัสดีครับ ^^