$\pi$ (พาย) เป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีใครไม่รู้จัก เราท่องกันมาตั้งแต่เด็กๆ ว่าค่า (ประมาณ) ของมันคือ $22/7$ ถ้าใครได้เรียนต่อในสายวิทย์ก็อาจเคยผ่านตาค่าพายที่ละเอียดมากขึ้น อย่าง $3.14159\,26535\,\dots$

และเนื่องจากว่าพายเป็นจำนวนอตรรกยะ ($\pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$) ซึ่งไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม $a/b$ ได้ การหาค่าพายให้แม่นยำได้ซัก 100 ตำแหน่งจึงเป็นเรื่องจำเป็น (และการหาให้ละเอียดกว่านั้นก็ถือเป็นงานอดิเรกของนักคณิตศาสตร์-คอมพิวเตอร์ก็ว่าได้)

เรามีเทคนิคมากมายในการหาค่าพาย แต่ก็ดูจะไม่มีวิธีไหนที่ประหลาดไปกว่าการหาค่าพายด้วยการสุ่มแบบ Monte Carlo อีกแล้วครับ

การหาค่าพายด้วยวิธี Monte Carlo นี้เริ่มด้วยแนวคิดง่ายๆ คือการสังเกตความสัมพันธ์ของพื้นที่วงกลมกับสี่เหลี่ยมจตุรัส ดังนี้

\[\begin{align} \text{Circle Area} &= \pi r^{2} \\ \text{Square Area} &= \left(2 r\right)^{2} \\ \frac{\text{Circle Area}}{\text{Square Area}} &= \frac{\pi}{4} \end{align}\]

แต่เนื่องจากว่า การหาพื้นที่รูปวงกลมด้วยวิธีธรรมดาทั่วไปนั้น ต้องอาศัยค่าพายเข้าช่วยทุกวิธี ตอนนี้แหละที่เราจะใช้วิธีการสุ่มพล๊อตจุดเข้าไปในพื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส (เสมือนการระบายสีให้พื้นที่) แล้วดูว่าจุดนั้นอยูในพื้นที่วงกลมด้วยหรือไม่ โดยใช้ขั้นตอนวิธีดังนี้

\[\begin{align} 1: & \mathbf{\text{procedure}}\;\;\text{pi}\left(\text{int}\;\; n\right) \\ & \mathbf{\text{begin}} \\ & \quad\quad \mathbf{\text{var}}\;\; c:=0 \\ & \quad\quad \mathbf{\text{for}}\;\; i:=1\;\;\mathbf{\text{upto}}\;\; n\;\;\mathbf{\text{do}} \\ 5: & \quad\quad\quad\quad \text{random}\;\; x_{ i}, y_{ i}\in\begin{bmatrix}-1\text{,}1\end{bmatrix} \\ & \quad\quad\quad\quad \mathbf{\text{if}}\;\;\sqrt{ x_{ i}^{2}+ y_{ i}^{2}}\leq1\;\;\mathbf{\text{then}} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad c\leftarrow c+1 \\ & \quad\quad\quad\quad \mathbf{\text{end if}} \\ & \quad\quad \mathbf{\text{end for}} \\ 10: & \quad\quad \mathbf{\text{return}}\;\;4\times\frac{ c}{ n} \\ & \mathbf{\text{end}} \end{align}\]

ด้วยความก้าวหน้าของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ในปัจจุบัน ทำให้เราสามารถสุ่มเลขเป็นจำนวนหลายล้านครั้งได้ในไม่กี่อึดใจ และให้ผลลัพท์ค่าพายที่เชื่อถือได้มาประมาณ 2-3 ตำแหน่ง

ทั้งนี้ พึงระลึกไว้ว่าตัวแปรที่สำคัญคือ

การสุ่มต้องเป็นแบบ uniform distribution คือค่าทุกค่ามีโอกาสออกเท่ากัน และไม่มีรูปแบบการออกที่ตายตัว ซึ่งต่างจากการสุ่มแบบ pseudo random ที่มีชุดตัวเลขเตรียมไว้อยู่แล้ว ความแม่นยำในการวัด (จำนวนเลขทศนิยม) จะเป็นตัวกำหนดความละเอียดของผลลัพท์ เพียงเท่านี้ เราก็จะได้ค่าพายด้วยวิธีการที่ไม่น่าเชื่อว่าจะให้ค่าพายออกมาได้ อย่างการสุ่มแบบ Monte Carlo แล้วครับ

Originally published on: JuSci