สมการความรัก (เชิงอนุพันธ์) ของโรเมโอและจูเลียต

Sunday, January 1, 2012, 06:48 AM

ยอมรับตรงๆ ว่าช่วงนี้อกหัก บวกกับฟุ้งซ่านนิดๆ นั่งถอนหายใจไปเรื่อยๆ ก็ดันนึกถึงสมการความรักที่อาจารย์เคยพูดถึงแบบผ่านๆ พอลองไปอ่านเพิ่มเองก็เห็นว่ามันสนุกดี เลยเอามาเล่าให้ฟังครับ

เท้าความก่อนว่า แนวคิดเรื่องสมการความรักนี้ มาจากบทกวีอมตะเรื่องโรเมโอและจูเลียต ในเวอร์ชันที่ดัดแปลงเล็กน้อย (เพื่อให้สนุกต่อการสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์) ซึ่งมีกฎพื้นฐานคือ

ความรักของโรเมโอ (ฝ่ายชาย) นั้นแปรปรวน กล่าวคือ เขาจะพยายามเอาชนะใจจูเลียตมากขึ้นถ้าเธอไม่สนใจ แต่เมื่อไหร่ที่เธอชอบเขาแล้ว เขากลับเป็นฝ่ายที่ทำตัวเหินห่างออกไปเสียเอง

แต่ความรักของจูเลียต (ฝ่ายหญิง) นั้นตรงไปตรงมา เธอจะรักโรเมโอมากขึ้นเมื่อเขามอบความรักให้แก่เธอ และจะทำตัวเหินห่างออกไปเมื่อเขานั้นไม่ใยดีเธอเช่นกัน

ฟังดูอาจจะงงๆ ว่าแล้วสองคนนี้จะมารักกันได้ยังไงใช่มั้ยครับ งั้นเราลองมาวิเคราะห์ฝ่ายหญิงกันก่อนดีกว่า

ถ้าเราให้ $j(t)$ เป็นฟังก์ชันความรักของจูเลียตที่มีต่อโรมิโอบนช่วงเวลา $t$ (และให้ $r(t)$ เป็นฟังก์ชันความรักของโรเมโอที่มีต่อจูเลียตในทำนองเดียวกัน) เราจะสังเกตว่า

$j(t)$ มีค่าเพิ่มขึ้น เมื่อ $r(t)$ มีค่าเพิ่มขึ้น (เธอจะรักโรเมโอมากขึ้นเมื่อเขามอบความรักกลับมา) $j(t)$ มีค่าลดลง เมื่อ $r(t)$ มีค่าลดลง (เธอจะทำตัวเหินห่างออกไปเมื่อเขานั้นไม่ใยดีเธอเช่นกัน) หรือเราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ได้ว่า

\[\frac{dj}{dt} = r\]

เช่นกัน เมื่อเราพิจรณาฝ่ายชายดูบ้าง จะพบว่าความรักที่เขามอบให้แก่เธอนั้น จะมีเครื่องหมายที่ตรงกันข้ามกันคือ

\[\frac{dr}{dt} = -j\]

ถึงตอนนี้เราได้มา 2 สมการแล้ว จะเปิดหนังสือแคลคูลัสหรือถาม Wolfram Alpha ก็ไม่ว่ากัน แต่ส่วนตัวแล้ว นี่เป็นสมการที่มีคำตอบแบบง่ายๆ คือ

\[r(t) = \cos(t), \quad\quad j(t) = \sin(t)\]

เมื่อเราวาดกราฟออกมา จะพบกับความเรียบง่ายสวยงามตามแบบฉบับของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยทั่วไป

หรือถ้าจะพรรณนาออกมาให้คนธรรมดาที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ฟังซักหน่อย ก็คงได้ประมาณว่า

ความรักของฝ่ายชาย (สีน้ำเงิน) นั้น แรกเริ่มก็มีอยู่เต็มเปี่ยม พร้อมทำทุกอย่างเพียงเพื่อให้ฝ่ายหญิง (สีแดง) ที่ไม่เคยเหลียวมองหันมาสนใจ แต่เมื่อเธอมีใจให้แล้วก็กลับทำตัวเหินห่าง จนสุดท้ายก็เกลียดเธอเพราะเธอใส่ใจเขามากเกินไป

ด้านฝ่ายหญิงนั้นเล่า แม้ตอนแรกจะไม่มีใจให้ แต่แล้วก็เป็นอันใจอ่อนหลงใหลเขาขึ้นมา เวลาผ่านไปอีกไม่นานเธอก็ต้องแปลกใจ สงสัยว่าทำไมเขานั้นกลับเหินหาง เธอจึงระวังตัวและถอยกลับออกมา จนเมื่อรู้ว่าโดนฝ่ายชายเกลียดเข้าให้แล้ว ก็หมดศรัทธาตัดพ้อต่อว่าเขาอยู่ในใจ

กลับไปที่ฝ่ายชาย เมื่อรู้ตัวว่าโดนเธอเกลียด เขาก็สำนึกเสียใจในสิ่งที่ทำลงไป และแก้ตัวด้วยการมองเธอใหม่ มอบความรักอันเปี่ยมล้นกลับไปให้เธอจนเธอนั้นหายโกรธ และกลับมามองเขาในแง่ดีใหม่จนเริ่มมีใจอีกครั้ง (ถึงตอนนี้ก็ติดลูปแล้ว)

เรื่องสนุกของระบบสมการแบบนี้คือ เราสามารถวาดกราฟอีกแบบ โดยให้แกนทั้งสองเป็นค่าของสมการ และให้ตัวแปรเป็นทางเดินของผลลัพท์ที่เกิดจากสมการทั้งสองนั้นได้