วงแหวนเว็บ

neizod's speculation

insufficient data for meaningful answer

10001000 กับ 1001999 อะไรมากกว่ากัน?

Tuesday, September 18, 2012, 12:18 PM

สืบเนื่องจาก blog ตอนที่แล้ว มีหลายท่านท้วงเข้ามาว่าโจทย์ผิดหรือเปล่า ซึ่งผมได้ไปเช็คกับคำถามอีกรอบแล้วก็พบว่า โจทย์ที่ได้รับมานั้นไม่ผิดจริงๆ แต่ก็น่าสงสัยอย่างมากว่าคนตั้งโจทย์นั่นแหละที่เขียนเลขตกหล่นไปเอง

จริงๆ ตอนก่อนก็แอบเกรียนไปหน่อย คือรู้แหละว่าตั้งใจจะให้พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ งั้นมาไถ่บาปกับคำถามที่ว่า 10001000 กับ 1001999 (เวอร์ชั่นแก้คำผิดแล้ว) อะไรมากกว่ากันอีกรอบดีกว่า 😉


ก่อนอื่น สังเกตว่า

10001000=1000×1000999

หรือพูดให้เข้าใจง่ายก็คือ เรามี 1000999 อยู่ 1000 พจน์นั่นเอง

ต่อมาเราต้องการจัดรูปของ 1001999 ให้กลายเป็น 1000999 ซึ่งก็ง่ายๆ โดนใช้การกระจายทวินามเข้าช่วย

1001999=(1000+1)999=i=0999(999i)1000999i1i=i=0999(999i)1000999i=1000999+(9991)1000998+(9992)1000997++1

จะเห็นว่า พอกระจาย 1001999 ออกมาแล้ว จะยังคงมี 1000 พจน์เช่นกัน (index ไล่จาก 0 จนถึง 999) มันจึงสามารถนำไปจับคู่กับ 1000×1000999 ข้างบนได้ ดังนี้

i100010001001999010000×1000999(9990)1000999110001×1000998(9991)1000998210002×1000997(9992)1000997310003×1000996(9993)1000996i1000i×1000999i(999i)1000999i9991000999×10000(999999)10000

ตอนนี้ก็จะลดรูปปัญหากลายเป็นคำถามที่ว่า 1000i กับ (999i) อะไรมีค่ามากกว่ากัน

สังเกตว่า

P(n,r)=n!(nr)!C(n,r)=(nr)=n!r!(nr)!=P(n,r)r!

จะเห็นว่า P(n,r) มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ (nr) เสมอ

ถึงตรงนี้ก็เห็นชัดแล้วว่า

10000=P(999,0)=999!999!=110001>P(999,1)=999!998!=99910002>P(999,2)=999!997!=999×99810003>P(999,3)=999!996!=999×998×9971000iP(999,i)=999!(999i)!=999×998××(999i)

ดังนั้น

i:[1000iP(999,i)(999i)]

เพราะฉะนั้น

10001000=09991000i×1000999i0999(999i)1000999i=1001999

แต่เนื่องจาก มีบาง i ที่ 1000i ที่มีค่ามากกว่า (999i) ดังนั้น

10001000>1001999

จบการพิสูจน์ครับ

Revision notes:

  • September 14, 2021:

    อัพเดทสัญลักษณ์ combination และแก้ไขสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ที่ผิดเล็กน้อย

neizod

author