ตอนอยู่ม.ปลาย NutSnC เคยให้หนังสือ Proof Without Words มา คือตอนนั้นเรามองว่าคณิตศาสตร์สนุกอยู่แล้ว แต่พอได้เล่มนี้มาอ่านยิ่งรู้สึกสนุกเข้าไปใหญ่ เลยคิดว่ามันน่าจะช่วยให้ใครที่คิดว่าคณิตศาสตร์ไม่สนุก รู้สึกสนุกไปกับมันได้บ้าง

แนวคิดง่ายๆ ของหนังสือคือโยนสมการที่มีแต่ตัวหนังสือยั๊วเยี๊ยะทิ้งไปเลย แล้วเปลี่ยนมาคิดมันด้วยสิ่งที่จับต้องได้มาขึ้นอย่างรูปภาพแทน

---

ตัวอย่างหนึ่งในหนังสือ เช่น ต้องการพิสูจน์อนุกรมจำนวนเต็ม

\[1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]

ก็ให้คิดด้วยลูกแก้วแทน ลูกแก้วแถวแรกมี $1$ ลูก แถวที่สองมี $2$ ลูก ลงไปเรื่อยๆ จนแถวสุดท้ายที่มี $n$ ลูก

ถ้าจัดตำแหน่งลูกแก้วอย่างสวยๆ จะได้ว่ามันเป็นรูปสามเหลี่ยมนั่นเอง ดังนั้นพอเอาสามเหลี่ยมสองชุดมาประกบกันก็จะได้สี่เหลี่ยม ซึ่งก็ง่ายแล้วเพราะตอนนี้แค่หาพื้นที่ก็ได้คำตอบ

แต่ลองให้ใช้สมการอย่างเดียวอธิบายดู จะพบกับความยาวเฟื้อยเช่นนี้

\[\begin{align} \sum\limits_{i=1}^n i &= 1 + 2 + 3 + \cdots + n \\ 2 \sum\limits_{i=1}^n i &= 2(1 + 2 + 3 + \cdots + n) \\ &= (1 + 2 + 3 + \cdots + n) + (1 + 2 + 3 + \cdots + n) \\ &= (1 + 2 + 3 + \cdots + n) + (n + \cdots + 3 + 2 + 1) \\ &= (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2) + \cdots + (n+1) \\ &= (n+1) + (n+1) + (n+1) \cdots + (n+1) \\ &= n(n+1) \\ \sum\limits_{i=1}^n i &= \frac{n(n+1)}{2} \end{align}\]

เทียบกันแล้ว การพิสูจน์ด้วยรูปภาพง่ายและสวยงามกว่ากันเยอะเลย

---

วิธีข้างต้นยังนำไปประยุกต์ใช้กับสมการอื่นๆ ได้อีกมากมาย เช่น

• อนุกรมจำนวนเต็มคี่: $ \sum\limits_{i=1}^n 2n-1 = n^2 $
• อนุกรมจำนวนเต็มยกกำลังสอง: $ \sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $
• อนุกรมจำนวนเต็มยกกำลังสาม: $ \sum\limits_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^2 $
• อนุกรมเรขาคณิต: $ \sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i} = 1 $

ฝากไว้เป็นการบ้านให้ลองกลับไปวาดรูปเล่นกันดูครับ :3