แฟร็กทัลตัวหนึ่งที่เรียบง่าย แล้วก็ซับซ้อน แล้วก็กลับมาเรียบง่าย แต่ก็ยังไม่ทิ้งลายความซับซ้อน คงหนีไม่พ้นเซต Cantor แบบสามส่วน ซึ่งมันเป็นเซตของจำนวนจริงในช่วงปิด $[0,1]$ ที่เขียนนิยามผ่านความสัมพันธ์เวียนเกิดได้ว่า

$$\begin{array}{rl}{C}_0& =[0,1]\\ C_n& =\frac{C_{n-1}}{3}\cup (\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3})\end{array}$$

โดยตัวเซต Cantor จริงๆ แล้วนั้นจะเป็นเซตปลายทางเมื่อเราดำดิ่งลงไปในความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้นอย่างไม่รู้จบ ซึ่งก็คือ

$$\mathcal{C}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_n$$

มองเป็นสมการอาจไม่น่าตื่นตาตื่นใจเท่าไหร่ (หรืออาจถึงขั้นเห็นไม่ชัดเลยว่ามันจะเป็นแฟร็กทัลยังไงด้วย) แต่ถ้าได้ลองวาดรูปบนเส้นจำนวนดูก็น่าจะเห็นภาพอย่างชัดเจน ว่ามันก็คือการลบกล่องสี่เหลี่ยมตรงกลางขนาดความกว้าง $1/3$ ทิ้งไปเรื่อยๆ นั่นเอง

ซูมดู $C_n$ ให้ลึกลงไป – สัดส่วนการซูมในแกนตั้งกับแกนนอนนั้นไม่เท่ากัน

มันจะมีรายละเอียดปลีกย่อยทางเทคนิคเล็กๆน้อยๆ อย่างเช่นว่าเราเริ่มด้วยกล่องสี่เหลี่ยมที่เป็นช่วงปิด (รวมค่าสุดขอบที่หัวท้าย) แต่ตอนลบช่วงตรงกลางนั้นเราลบด้วยช่วงเปิด (ไม่รวมขอบหัวท้าย) ดังนั้นหลังจากลบเสร็จ เราจะได้ช่วงปิดสองช่วงกลับมา นี่ทำให้ท้ายที่สุดแล้ว $\mathcal{C}$ จะกลายเป็นเซตของจำนวนจริงโดดๆ ไม่ได้เป็นเซตของช่วงที่ต่อเนื่องกันแบบ $C_n$ อีกต่อไป

ซึ่งเราน่าจะเห็นได้ชัดผ่านการเขียนค่าสมาชิกใน $\mathcal{C}$ ออกมาเป็นจำนวนจุดลอยตัว ที่ทำได้กฎอันเรียบง่ายเมื่อเขียนด้วยเลขฐานสาม ที่มีข้อจำกัดว่าค่าประจำตำแหน่งหลักสามารถเป็นได้แค่ $0_3$ หรือ $2_3$ เท่านั้น เช่น

$$\begin{array}{rl}2/3& =(0.2{)}_3\\ 1/3& =(0.022222\dots {)}_3=(0.\bar{2}{)}_3=(0.1{)}_3\end{array}$$

แต่ความน่าตื่นตาตื่นใจยิ่งกว่า ก็คือแม้ว่า $\mathcal{C}$ จะเป็นเซตของเลขจำนวนจริงโดดๆ อย่างไรก็ดี หากจับสมาชิกสองตัว (ซ้ำกันได้) ในเซตมาบวกกันแล้ว มันสามารถสร้างจำนวนจริงกลับมาได้ทุกตัวในช่วง $[0,2]$ เลยทีเดียว

พูดอีกอย่างก็คือ

$$\mathcal{C}\oplus \mathcal{C}=[0,2]$$

โดยนิยามการบวกระหว่างเซตว่า $A\oplus B=\{a+b|a\in A,b\in B\}$

ซึ่งอาจพิสูจน์ให้เห็นได้สวยๆ ผ่านการอุปนัย ที่ย้อนกลับไปเอา $C_n$ เข้ามาช่วย โดยเริ่มจาก

$$\begin{array}{rl}{C}_n& =L\cup R\\ L& =\frac{C_{n-1}}{3}\\ R& =\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3}\end{array}$$

แล้วหลังจากนั้น

$$\begin{array}{rl}{C}_n\oplus C_n& =(L\cup R)\oplus (L\cup R)\\ & =(L\oplus L)\cup (L\oplus R)\cup \cancel{(R\oplus L)}\cup (R\oplus R)\\ & =\frac{1}{3}((C_{n-1}\oplus C_{n-1})\cup (2+C_{n-1}\oplus C_{n-1})\cup (4+C_{n-1}\oplus C_{n-1}))\\ & =\frac{1}{3}([0,2]\cup [2,4]\cup [4,6])=[0,2]\end{array}$$

แน่นอนว่าวาดภาพออกมาน่าจะช่วยให้เห็นคอนเซปต์ได้ง่ายกว่า(?)

บทพิสูจน์ด้วยการแปะภาพคนดัง 😜

ความเจ๋งจากแนวทางการอุปนัยเช่นนี้ คือเราสามารถประยุกต์ใช้มันเพื่อหาว่าสำหรับแต่ละ $x\in [0,2]$ เราสามารถแยกมันเป็น $x=a+b$ โดยที่ $a,b\in \mathcal{C}$ ได้อย่างไร

ซึ่งก็คือเราจะค่อยๆ แกะค่าออกมาโดยเริ่มจาก $a,b\in C_1$ ว่าต้องใช้ค่าจากฝั่ง $L$ หรือ $R$ มาบวกกันเพื่อสร้าง $x$ หลังจากนั้นจะบีบให้ $a,b$ ละเอียดเล็กลงเรื่อยๆ ด้วยการพิจารณา $C_n$ ที่สูงขึ้นไป

สรุปเป็นอัลกอริทึมโดยเริ่มที่ $x_1\leftarrow x$ ได้ประมาณนี้

1. พิจารณาว่า $x_i$ อยู่ในช่วงใด แล้วทดค่าเก็บไว้ในรูปของ $A_i\oplus B_i$
   • หาก $x_i\in [0,2/3)$ ทดค่า $L\oplus L$
   • หาก $x_i\in [2/3,4/3)$ ทดค่า $L\oplus R$
   • หาก $x_i\in [4/3,2)$ ทดค่า $R\oplus R$
2. คำนวณ $x_{i+1}\leftarrow 3x_i(\mathrm{mod}2)$
3. เพิ่มค่า $i$ แล้วย้อนกลับไปทำข้อ 1. ไล่มาเรื่อยๆ จนกว่าจะเหนื่อย

เหนื่อยแล้วจะได้ลิสต์ $[A_1\oplus B_1,A_2\oplus B_2,A_3\oplus B_3,\dots ]$ กลับมา ซึ่งเอาไปสร้าง $x=a+b$ ได้เป็น

$$\begin{array}{rl}a& =A_1{A}_2{A}_3\dots \\ b& =B_1{B}_2{B}_3\dots \end{array}$$

หลังจากนั้นแปลงเป็นจำนวนจุดลอยตัวในฐานสาม โดยให้ $L=0$ และ $R=2$ ก็จะได้คำตอบที่ต้องการ

ตัวอย่างเช่น $x=1/2$ เราแกะค่าออกมาได้ดังนี้

$$\begin{array}{cccccc}i& 1& 2& 3& 4& \dots \\ x_i& 1/2& 3/2& 1/2& 3/2& \dots \\ A_i\oplus B_i& L\oplus L& R\oplus R& L\oplus L& R\oplus R& \dots \end{array}$$

ดังนั้นจึงหา $x=a+b$ ได้เป็น

$$\begin{array}{rl}a& =LRLR\cdots =(0.0202\dots {)}_3=(0.\overline{02}{)}_3=1/4\\ b& =LRLR\cdots =(0.0202\dots {)}_3=(0.\overline{02}{)}_3=1/4\end{array}$$

หมายเหตุว่าอัลกอริทึมดังกล่าวไม่จำเป็นต้องให้คำตอบเพียงแค่วิธีเดียวที่เป็นไปได้ ลองดูตัวอย่างเมื่อต้องการ $x=11/27$

$$\begin{array}{ccccccc}i& 1& 2& 3& 4& 5& \dots \\ x_i& 11/27& 11/9& 5/3& 1& 1& \dots \\ A_i\oplus B_i& L\oplus L& L\oplus R& R\oplus R& L\oplus R& L\oplus R& \dots \end{array}$$

ที่อาจให้คำตอบแรกอันเรียบง่ายกลับมาว่า

$$\begin{array}{rl}a& =LLRLLL\cdots =(0.002{)}_3=2/27\\ b& =LRRRRR\cdots =(0.0222\dots {)}_3=(0.0\bar{2}{)}_3=(0.1{)}_3=1/3\end{array}$$

แต่เพราะการบวกมีสมบัติสลับที่ ดังนั้นค่าที่จดไว้ว่า $L\oplus R$ มันไม่ได้หมายถึงแค่ $A_i=L,B_i=R$ เพียงเท่านั้น แต่ยังสามารถหมายถึง $A_i=R,B_i=L$ ได้อีกด้วย และทำให้เราได้คำตอบอื่นๆ อีกมากมาย เช่น

$$\begin{array}{rl}a& =LRRLLL\cdots =(0.022{)}_3=8/27\\ b& =LLRRRR\cdots =(0.0022\dots {)}_3=(0.00\bar{2}{)}_3=(0.01{)}_3=1/9\end{array}$$

หรือแม้กระทั่ง

$$\begin{array}{rl}a& =LLRLRLRLR\cdots =(0.0\overline{02}{)}_3=1/12\\ b& =LRRRLRLRL\cdots =(0.022\overline{20}{)}_3=35/108\end{array}$$

ซ.ต.พ.