สืบเนื่องจากเดือนที่ผ่านมามีโอกาสได้ไป すみだ水族館 (พิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำซุมิดะ) ซึ่งมีฟรีเวิร์คช็อปให้เราประดิษฐ์ของเล่นเกี่ยวกับสัตว์น้ำ ตรงนี้แอบตกใจเล็กน้อยที่แม้ว่าของเล่นนั้นจะเกี่ยวข้องกับการพับกระดาษก็ตาม แต่มันก็ไม่ได้ถูกพับออกมาเป็นรูปทรงสัตว์น้ำเสียทีเดียว กลับกันว่ามันเป็นการพับรูปทรงพื้นฐานทางเรขาคณิตอย่างหกเหลี่ยมที่มีภาพวาดเป็นรูปสัตว์น้ำ แต่แฝงลูกเล่นที่สำคัญไว้ก็คือ เราสามารถจับเอาหกเหลี่ยมชิ้นนี้มา “หักงอ” ตรงกลางเพื่อกางหกเหลี่ยมที่มีภาพอื่นซ่อนอยู่ออกมาได้!

ของเล่นรูปหกเหลี่ยมที่สามารถกางออกมาเป็นภาพปลาทองได้สามมุมมอง

ตัวของเล่นสร้างมาจากแถบกระดาษยาวๆที่แบ่งย่อยเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าจำนวน 10 ชิ้นที่อยู่ติดกัน ซึ่งมองแว๊บแรกแล้วแอบรู้สึกว่ามันเป็นอะไรที่ดูญี่ปู๊นญี่ปุ่นมากๆ จนเราหลงทางไปค้นเกี่ยวกับ 折り紙 (โอริกามิ: การพับกระดาษแบบญี่ปุ่น) อยู่เสียนานแต่ก็ไม่พบผลลัพธ์อะไร จนกระทั่งกลับมาไทยแล้วเห็นว่าอ.สร้างสรรค์ก็จัดเวิร์คช๊อปที่เกี่ยวกับของเล่นชิ้นนี้พอดี พร้อมหย่อนคำสำคัญว่า “trihexaflexagon” ทิ้งไว้ในโพสต์…

ซึ่งพอเอาคำนี้ไปค้นต่อก็ถึงบางอ้อว่าที่ผ่านมาทำไมค้นเองไม่เจอ เพราะของเล่นชิ้นนี้ไม่ได้มีต้นกำเนิดมาจากญี่ปุ่น แต่กลับกลายเป็นว่ามันมีจุดเริ่มต้นจากฝั่งอังกฤษต่างหาก! และมันก็เพิ่งจะเกิดขึ้นมาไม่นานนี้เองด้วย นั่นคือเมื่อปี 1939 ที่ผ่านมานี้เอง โดยมีตัวตั้งตัวตีสำคัญคือ Arthur H. Stone และเหล่าผองเพื่อนสมัยยังเป็นนักศึกษามหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน อันได้แก่ Bryant Tuckerman, John Tukey, และ Richard Feynman (ใช่แล้ว Feynman คนนั้นแหล่ะ!)

พิพิธภัณฑ์ให้แถบกระดาษมาพับเล่นแค่ 1 ชิ้น เลยกลับมาสร้างเพิ่มเองซะเลย

ยอมรับโดยสัตย์จริงว่า ชื่อเต็มๆของมัน trihexaflexagon ก็แอบฟังดูน่ากลัวไม่ใช่น้อย แต่ถ้าแยกคำศัพท์ออกมาเป็นหน่วยย่อยๆแล้วจะได้ว่ามันคือ

• tri- สาม: ในที่นี้หมายถึง เราสามารถหักงอได้สามครั้ง
• hex- หก: ในที่นี้หมายถึง แต่ละหน้าเป็นรูปหกเหลี่ยม
• flex งอ: ในที่นี้หมายถึง เราสามารถหักงอรูปหกเหลี่ยมแล้วกางเอาหน้าที่ซ่อนไว้ข้างในออกมาได้
• -gon รูปเหลี่ยมๆ (เหมือนในคำว่า polygon)

หรือถ้าจะเขียนให้ดูน่ากลัวน้อยลงซักนิดนึง ก็อาจเขียนว่า 3-6-flexagon แทนก็ได้

วิธีพับสร้างของเล่น

ความน่าสนใจก็คือ ถ้าเราไปตามหาอ่านงานต่างๆที่สอนวิธีพับเจ้า 3-6-flexagon จะเห็นว่าเค้าสอนด้วยวิธีที่ไม่ง่ายที่จะพับตามเท่าไหร่ ซึ่งอาจสรุปได้ประมาณนี้

1. ตัดกระดาษเป็นแถบที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าเรียงสลับกัน 10 ชิ้น
2. จากฝั่งหัว นับสามเหลี่ยม 3 ชิ้น พับตามรอย (จะได้รูปร่างคล้ายไม้เท้า)
3. จากฝั่งหาง นับสามเหลี่ยม 4 ชิ้น พับตามรอย
4. ถึงตอนนี้เราจะได้หกเหลี่ยมที่มีแง่งยื่นออกมา พับแง่งนั้นเข้ามาแล้วทากาวประกบ

คือถ้าอ่านแค่นี้ จะเห็นว่ามันสรุปออกมาได้เป็นวิธีการพับกระดาษที่มีจำนวนขั้นตอนไม่เยอะก็จริง… แต่ในการลงมือพับกระดาษจริงๆการหาตำแหน่งที่ต้องพับให้ถูกต้องกลับไม่ง่ายอย่างที่คิด (โดยเฉพาะเมื่อพิมพ์ออกมาด้วยภาพพื้นหลังประกอบที่มีลวดลายละลานตา)

วิธีการพับดังกล่าวอาจเรียกว่าเป็นวิธีการพับแบบ Gardner ก็ได้ เนื่องจากว่า Martin Gardner ได้นำเสนอเจ้า 3-6-flexagon นี้จนโด่งดังในปี 1956 ผ่านนิตยสาร Scientific American

วิธีการพับ 3-6-flexagon จากพิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำ

อย่างไรก็ตาม ในเวิร์คช็อปพิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำที่เราไปร่วมสนุกนั้น กลับนำเสนอเทคนิคการพับที่แตกต่างออกไป นั่นก็คือ เราจะไล่พับคู่สามเหลี่ยมในแถบกระดาษไล่ไปเรื่อยๆ โดยเริ่มจากการพับภูเขา (moutain fold) แล้วพับหุบเหว (valley fold) สลับกันไปจนครบทุกคู่ เรียบร้อยแล้วทากาวประกบสามเหลี่ยมหน้าแรกเข้ากับหน้าสุดท้าย รอให้กาวแห้งแล้วกางออกมาเป็นหกเหลี่ยมก็เสร็จเรียบร้อยเลย

จุดมหัศจรรย์คือ วิธีการพับทั้งสองนั้นให้ผลลัพธ์ปลายทางเดียวกันเป๊ะ!

ตัวอย่างกระดาษพิมพ์ลายสำหรับสร้าง 3-6-flexagon

ส่วนใครที่อยากสร้างของเล่นชิ้นนี้ขึ้นมาเองบ้าง สามารถดาวน์โหลดไฟล์ PDF ที่ความละเอียด 300 DPI ไปพิมพ์+ตัด+พับ+ทากาวแล้วเล่นกับมันได้เลย โดยไฟล์ภาพที่เราทำให้ไว้นี้เป็นแบบสั่งพิมพ์หน้าเดียวพอ หลังจากนั้นจึงค่อยพับครึ่งตามแนวยาวเพื่อจำลองเป็นกระดาษที่พิมพ์สองหน้า¹ และหากไม่อยากให้กระดาษมีความหนาไม่สม่ำเสมอกัน ก็สามารถตัดหน้าสามเหลี่ยมที่มีสัญลักษณ์ทากาวทิ้งไปได้อีกด้วย

หน้าทั้งหมดที่แตกต่างกัน และทฤษฎีกรุ๊ป

ถึงตรงนี้ถ้าใครลองพิมพ์ภาพตัวอย่างมาพับสร้างเป็นของเล่น เมื่อหักงอเอาตรงกลางของหกเหลี่ยมออกมาเรื่อยๆ จะเห็นว่าเราได้หน้าหกเหลี่ยมที่แตกต่างกันวนอยู่ทั้งหมด 3 หน้า

แต่ถ้าเรา “กลับด้าน” รูปหกเหลี่ยมไปดูอีกฝั่ง จะเห็นว่าเราได้ผลลัพธ์ที่มีลวดลายไม่เหมือนกับที่เคยเห็นมาทั้งหมดเสียทีเดียว² ซึ่งจะเห็นได้ชัดสำหรับ 3-6-flexagon ที่วาดภาพปลาทองนั่นเอง

ภาพข้างหน้าและข้างหลังของ 3-6-flexagon โดยฝั่งข้างหลังถูกสะท้อนผ่านกระจกเงา

ดังนั้นจริงๆแล้วรูป 3-6-flexagon จึงมีหน้าหกเหลี่ยมที่แตกต่างกันอยู่ทั้งหมดถึง $3\times2=6$ หน้า ที่หากเราดูให้ลึกลงไปในรายละเอียดแล้ว จะเห็นว่าหน้าหกเหลี่ยมแต่ละหน้าจะมี “คู่กลับ” ของมันอยู่ ซึ่งเกิดจากการเรียงตัวสามเหลี่ยมย่อยๆไปในทิศทางตรงข้ามกันนั่นเอง

พับหน้ายิ้มให้กลายเป็นหน้าบึ้ง!

เราจะนิยามการดำเนินการบน 3-6-flexagon ให้ชัดเจน ดังนี้:

1. งอ ($f$: flex) การหักงอเอาหน้าหกเหลี่ยมที่ซ่อนอยู่ข้างในในออกมา
2. กลับ ($t$: turn) การกลับด้านไปอีกฝั่ง โดยยึดแกนตั้งเป็นแกนหมุน
3. หมุน ($r$: rotate) การหมุนในทิศตามเข็มนาฬิกาด้วยมุม 60 องศา

สองการดำเนินการพื้นฐานบน 3-6-flexagon

ยิ่งไปกว่านั้น เราอาจนับจำนวนหน้าทั้งหมดโดยพิจารณาการหมุนเข้าไปด้วยก็ได้ ด้วยวิธีคิดเช่นนี้ จะทำให้เรามีหน้าที่แตกต่างกันทั้งหมด $6\times6=36$ หน้า

เมื่อเราทดลองเล่นกับตัวดำเนินการเหล่านี้ไปเรื่อยๆ เราอาจวาดแผนภาพของการดำเนินการบนของเล่นชิ้นนี้ได้ออกมาเป็นหน้าตาประมาณนี้

โครงสร้างกรุ๊ปของหน้าหกเหลี่ยมผ่านตัวดำเนินการต่างๆ

นั่นคือเราสามารถมองตัวดำเนินการเป็นฟังก์ชันตัวแปรเดียวก็ได้ ซึ่งจะทำให้เรารสุปสมบัติที่สวยงามบางอย่างออกมาได้ เช่น

\[r = f^3\]

หรือก็คือ การหมุนนั้นไม่จำเป็นสำหรับการดำเนินการพื้นฐานของกรุ๊ปนี้ เพราะเราสามารถจำลองมันได้โดยการงอติดกันสามครั้งนั่นเอง

อ้างอิง

• Hilton, P., & Pedersen, J. (2010). A mathematical tapestry: demonstrating the beautiful unity of mathematics. Cambridge University Press.
• Gardner, M. (1956). Flexagons. Scientific American, 195(6), 162-168.