จากที่ผมเคยได้เขียนเกี่ยวกับการหาค่า $\pi$ ด้วยการสุ่มไป และเมื่อไม่นานก็มีข่าวค่า $\pi$ ละเอียด 10 ล้านตำแหน่งทศนิยม เลยคิดว่าน่าจะลองเอาการหาค่า $\pi$ แบบอื่นๆ มาเล่าสู่กันฟังเพิ่มเติมอีกครับ

คราวนี้ขอย้อนกลับไปหาวิธีโบราณที่อาร์คิมิดีสเคยใช้ (โดยนำมาเล่าแบบดัดแปลงใหม่เล็กน้อย) ซึ่งก็คือการหาค่า $\pi$ ด้วยพื้นที่สามเหลี่ยมครับ

จากรูปนี้เราจะสังเกตเห็นว่า เมื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมแนบในและแนบนอกวงกลม พื้นที่วงกลมจะมีค่าอยู่ระหว่างพื้นที่ของรูปใหญ่และรูปเล็ก หรือเขียนเป็นอสมการได้ดังนี้

\[\text{Area}_{\text{small}} \lt \text{Area}_{\text{circle}} \lt \text{Area}_{\text{large}}\]

เมื่อแทนพื้นที่วงกลมเข้าไป

\[\text{Area}_{\text{small}} \lt \pi r^{2} \lt \text{Area}_{\text{large}}\]

นั่นคือถ้าเราแก้หาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมเล็กกับใหญ่ได้ เราก็จะได้ค่าประมาณของ $\pi$ ออกมาครับ

ในที่นี้ผมเลือกรูปหกเหลี่ยมมาอธิบายกรณีเฉพาะก่อนนะครับ

สำหรับหกเหลี่ยมใหญ่ เราจะเห็นว่ามันประกอบด้วยสามเหลี่ยมเล็กๆ เหมือนกัน 6 อัน (ลากจากจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเข้าไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม) แต่สามเหลี่ยมอันนี้ยังคำนวณยากอยู่ เราจะจัดการแบ่งครึ่งมันอีกรอบ (ตรงจุดสัมผัสวงกลม) ดังนั้น เราจะหาพื้นที่สามเหลี่ยมเล็กอันเดียวแล้วเอามาคูณ 12 กลับก็จะได้พื้นที่ใหญ่ครับ

และเมื่อสังเกตความยาวต่างๆ ของสามเหลี่ยมเล็กนี้ เราจะได้ว่าความสูงคือ $r$ (รัศมีวงกลม) ส่วนฐาน (สมมติตัวแปรดัมมี่ $w$) นั้นได้จากการสังเกตว่ามุมของสามเหลี่ยมเล็กคือ 30 องศา ด้วยวิธีทางตรีโกณมิติ เราจะได้

\[\begin{align} \tan30^\circ &= \frac{w}{r} \\ w &= r\tan30^\circ \end{align}\]

ถึงตอนนี้ เราก็จะได้แล้วว่า

\[\begin{align} \frac{1}{12}\times\text{Area}_{\text{large}} &= \frac12 \times r^2 \tan30^\circ \\ \text{Area}_{\text{large}} &= 6 \times r^2 \tan30^\circ \end{align}\]

สังเกตต่อไปอีกหน่อยนึง (หรือถ้าจะให้ชัวร์ ลองทำในทำนองเดียวกันนี้ดูกับรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ) จะได้ว่า สำหรับรูปหลายเหลี่ยม $n$ ด้าน (กรณีทั่วไป) จะมีพื้นที่

\[\begin{align} \text{Area}_{\text{large}} = nr^2 \tan\theta \end{align}\]

โดย $\theta=\frac12\times\frac{360^\circ}{n}$ และเมื่อหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมเล็กในทำนองเดียวกัน (ระวังมึนหัวกับตรีโกณมิตินะครับ) ก็จะได้

\[\begin{align} \text{Area}_{\text{small}} = nr^2 \sin\theta \cos\theta \end{align}\]

ดังนั้น เราจึงได้อสมการ (ลองเล่นเองบน Wolfram Alpha)

\[\begin{align} nr^2 \sin\theta \cos\theta \lt \pi r^2 \lt nr^2 \tan\theta \end{align}\] \[\begin{align} n \sin\theta \cos\theta \lt \pi \lt n \tan\theta \end{align}\]

น่าเสียดายที่สมัยอาร์คิมิดีสยังไม่มีตรีโกณมิติละเอียดๆ การหาความกว้างของด้านสามเหลี่ยมเล็กจะใช้เรขาคณิตแบ่งครึ่งสามเหลี่ยมไปเรื่อยๆ ทำให้เขาได้ค่าคร่าวๆ คือ $3\frac{10}{71}\lt\pi\lt3\frac{10}{70}$ จากการใช้รูป 96 เหลี่ยมครับ

Originally published on: JuSci