คณิตศาสตร์นี้จะว่าไปก็เป็นวิชาที่แปลก เนื่องจากว่าหัวใจหลักของมันนั้นเน้นเรื่องความสมเหตุสมผล การทำงานอย่างเป็นระบบระเบียบมีขั้นตอนวิธีชัดเจน ไปจนถึงการพิสูจน์ว่าระบบนั้นทำงานได้อย่างถูกต้องตามหลักตรรกะในทุกกรณีไม่มีช่องโหว่หลงเหลือให้กังวลภายหลัง

ดูได้ง่ายๆ ว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาเดียวที่มีนักเรียนทำข้อสอบมาตรฐานได้คะแนนเต็มทุกปี ต่างกับวิชาอื่นๆ ที่พึ่งพาการ “ตีความ” เป็นหลัก ดั่งเช่นคำถามที่ว่า “ผู้เขียนมีความเห็นอย่างไร?” ซึ่งแน่นอนว่าในระดับปัจเจกนั้น คนเราแต่ละคนย่อมมีประสบการณ์ชีวิตที่แตกต่างกัน มันจึงเป็นไปไม่ได้เลยที่เราจะตีความสิ่งต่างๆ ออกมาเหมือนกันหมด

และนี่คือจุดที่แปลก: คณิตศาสตร์ดูจะมี “ภูมิต้านทาน” ต่อการตีความให้แตกต่างกันสูงมาก เช่นเมื่อทุกคนเห็นนิพจน์ดังต่อไปนี้

\[c \cdot c - 1\]

ย่อมตอบเป็นเสียงเดียวกันทันทีว่ามันเทียบเท่ากับ $c^2-1$ นั่นคือ เราเริ่มจากนำค่าตัวแปร $c$ มาคูณกับตัวมันเองให้เสร็จเรียบร้อยก่อน แล้วหลังจากนั้นจึงหักผลลัพธ์นี้ออกไปหนึ่งหน่วย จึงได้เป็นคำตอบสุดท้ายนั้นเอง

แทบจะเรียกได้ว่านี่เป็น “ความจริงเพียงหนึ่งเดียว” ของโลกคณิตศาสตร์ก็ว่าได้

แต่ถ้าเรากลับไปอ่านงานสมัยก่อนๆ จะเห็นว่านักคณิตศาสตร์บางคนก็ไม่ได้เห็นตรงกันซะทีเดียวว่าเราต้องทำคูณก่อนบวก หรืออันที่จริงต้องบอกว่าเค้าไม่ได้มองเครื่องหมาย • ในความหมายของเครื่องหมายคูณที่เราคุ้นเคยกันในปัจจุบันด้วยซ้ำ

เช่นในงาน Summae Potestatum (1713) ของ Jacop Bernoulli ที่มีช่วงนึงที่เค้าเขียนไล่แสดงการคำนวณไว้ว่า

\[\frac{c \cdot c - 1 \cdot c - 2}{2 \cdot 3 \cdot 4}\]

หากเราไล่อ่านบริบทรอบข้างประกอบไปด้วย (ซึ่งก็จะเป็นเรื่องเชิงคอมบินาทอริก) การคำนวณตรงนี้มันต้องทำการลบก่อนแล้วค่อยคูณ นั่นคือถ้าเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์สมัยใหม่ที่เราคุ้นเคยกัน จะได้ว่ามันเทียบเท่ากับ

\[\frac14\binom{c}{3}\]

แน่นอนว่าการเขียนแบบแปลกๆ เช่นนี้ก็เป็นเพียงแค่เรื่องราวในอดีตไปเรียบร้อยแล้ว ทุกวันนี้เราเขียนคณิตศาสตร์กันอย่างรัดกุมไร้ซึ่งความกำกวมใช้มั้ย?

\[9/3(1+2)\]

น่าจะเป็นโจทย์เจ้าปัญหาที่หลายคนเคยผ่านหูผ่านตากันมานับครั้งไม่ถ้วน ซึ่งเอาจริงๆ ไม่ว่าเราจะตอบ 1 หรือ 9 มันก็สามารถเป็นคำตอบที่ถูกต้องได้ทั้งคู่ เพราะการเขียนดังกล่าวนี้มันมีความ “กำกวม” นั่นเอง และมันก็ไม่ใช่เรื่องผิดอะไรเลยถ้าเราจะ “ชื่นชอบ” ในหลักการใดหลักการหนึ่งเป็นพิเศษ กล่าวคือ

• สำหรับคนที่เลือกตอบ 9 นั่นคือเขาให้คุณค่ากับ PEMDAS เป็นหลัก เนื่องจากเป็นกฎที่เรียบง่าย เข้าใจได้ตั้งแต่วัยเยาว์ที่เริ่มทำความรู้จักกับคณิตศาสตร์ และสามารถถูกแปลงไปเป็นโค้ดคอมพิวเตอร์ได้อย่างตรงไปตรงมา
• สำหรับคนที่เลือกตอบ 1 นั่นคือเขาให้คุณค่ากับ multiplication by juxtaposition เป็นหลัก ซึ่งดูแล้วเป็นกฎที่ซับซ้อนกว่าเดิม แต่กลับช่วยให้เขียนนิพจน์คณิตศาสตร์ได้กระชับชัดเจนขึ้น ดั่งจะเห็นได้จากงานวิจัยและหนังสือคณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัยขึ้นไป

หรือเราอาจถอยกลับไปยังตัวอย่างที่เรียบง่ายยิ่งกว่านั้นก็ได้ เช่นโจทย์การคูณ 3×4 ที่สามารถตีความเขียนไล่พจน์ในการคำนวณได้ว่า

• มีของอยู่ 3 กลุ่ม แต่ละกลุ่มมี 4 ชิ้นเท่ากัน ดังนั้นเราจึงเขียนการคำนวณออกมาด้วย 4+4+4
• มีของอยู่ 3 ชิ้น เป็นจำนวนทั้งหมด 4 กลุ่ม ดังนั้นเราจึงเขียนการคำนวณออกมาด้วย 3+3+3+3

ซึ่งไม่ว่าจะตีความทางไหน “ความหมาย” ของมันก็คือ “สิ่งเดียวกัน” เลย และก็ไม่ได้มีทางใดที่ผิดหรือถูกไปกว่ากันทั้งนั้น … จะมีก็แค่ความสะดวกในการใช้งาน ที่วิธีตีความแบบหนึ่งนั้นเหมาะสมมากกว่าในบริบทหนึ่งๆ

อย่างเช่นการมองว่า 3×4 คือ 4+4+4 ก็อาจจะเหมาะกับบางภาษาที่เราใช้สื่อสารที่มีโครงสร้างประโยคกล่าวถึงจำนวนกลุ่มทั้งหมดที่สนใจก่อนกล่าวถึงจำนวนสิ่งของในกลุ่ม

ส่วนการมองว่า 3×4 คือ 3+3+3+3 ก็ดูจะเป็นธรรมชาติกว่าเมื่อนำไปใช้กับตารางสูตรคูณ เพราะการพิจารณาบรรทัดถัดไปที่ 3×5 มันก็คือการนำ +3 ไปต่อท้ายในการคำนวณข้างต้นนั่นเอง

ทั้งนี้ ใจความสำคัญทั้งหมดของเรื่องที่ยกตัวอย่างมา ก็คือ ความหลากหลายของการตีความเหล่านี้ มันไม่ได้อ้างอิงอยู่บน “ความจริงแท้แน่นอน” (fact) ทางคณิตศาสตร์แต่อย่างใด แต่มันคือ “ความคิดเห็น” (opinion) ที่เรามีต่อเรื่องนั้นต่างหาก

และนี่เป็นสิ่งที่เราต้องแยกให้ออก

Originally published on: Facebook