ปัญหาการแบ่งมุมเป็นสามส่วนเท่ากันนั้นเป็นปัญหาที่ไม่มีวิธีแก้ได้หากให้ใช้เพียงแค่ไม้บรรทัดและวงเวียน นั่นก็เพราะว่าเครื่องมือทั้งสองมีพลังเพียงแค่การแก้สมการกำลังสองเท่านั้น การแบ่งมุมสามส่วนเท่านั้นเทียบเคียงได้กับการแก้สมการกำลังสาม แต่หากเราเปลี่ยนไปใช้โอริกามิ (การพับกระดาษ) ที่มีพลังมากกว่าไม้บรรทัดและวงเวียน เราจะก็สามารถแก้ปัญหานี้ (และปัญหาในตระกูลกำลังสาม) ได้ทันที

และนี่คือขั้นตอนวิธีของ Hisashi Abe เพื่อการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนด้วยโอริกามิ

อนิเมชันแสดงวิธีพับกระดาษเพื่อแบ่งมุม $\theta$ เป็นมุม $\theta/3$

สิ่งที่ทำให้โอริกามิมีความน่าสนใจโดยธรรมชาติ ก็คือเมื่อเราจิ้มจุดหนึ่งจุดและลากเส้นตรงหนึ่งเส้นทิ้งไว้บนกระดาษ หลังจากนั้นเราจะพับกระดาษโดยนำจุดดังกล่าวไปวางไว้บนเส้นตรงเส้นนั้นให้ได้ แน่นอนว่าถ้าเราไม่มีเงื่อนไขอื่นก็จะได้ว่าคำตอบมีมากมายเป็นอนันต์ สังเกตรอยพับบนกระดาษเมื่อเราทดลองพับหลายๆ แบบแต่ยังใช้จุดและเส้นตรงตั้งต้นเส้นเดิม จะเดาได้ว่ามีบางบริเวณที่ไม่มีวันโดนพับจนกระดาษจนเป็นรอยได้ และหากเราลากเส้นขอบเพื่อแบ่งบริเวณที่สามารถเป็น/ไม่เป็นรอยพับเหล่านั้นได้ (เทคนิคเดียวกับการหุ้มห่อ) เราก็จะได้รูปพาราโบลาที่มีจุดโฟกัสและไดเรกตริกซ์เป็นจุดและเส้นตรงตั้งต้นออกมานั่นเอง!

พาราโบลาจากการพับกระดาษ

โดยขั้นตอนที่เพิ่มพลังให้โอริกามิเก่งยิ่งไปกว่าการใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนที่เราคุ้นเคย นั่นคือเมื่อเราสนใจคู่ของจุด-เส้นตรงเป็นจำนวนสองคู่ และเราจะพับกระดาษโดยนำเอาจุดแต่ละจุดไปวางบนเส้นตรงแต่ละเส้นในคู่ของมันอย่างพร้อมกันนั่นเอง นี่ทัดเทียมกับการแก้สมการหาเส้นตรงที่สัมผัสส่วนโค้งของพาราโบลาทั้งสอง ซึ่งเป็นความสามารถที่ไม้บรรทัดและวงเวียนให้ไม่ได้

การพิสูจน์ด้วยสามเหลี่ยมเท่าว่ามุมทั้งสามมีขนาดเท่ากัน

ระลึกอีกอย่างว่าการพับกระดาษก็คือการสะท้อนสิ่งของต่างๆ โดยให้รอยพับเป็นแกนสะท้อน งานที่เหลือก็มีเพียงแค่การพิสูจน์ง่ายๆ ว่ามุมทั้งสามที่ถูกแบ่งออกมานั้นมีขนาดเท่ากันก็เรียบร้อย 😊

อ้างอิง

• Hull, Thomas C. Origametry: Mathematical Methods in Paper Folding. Cambridge University Press, 2020.

neizod

author