เวลาเรามีระบบสมการเชิงเส้น $n$ ตัวแปร เราสามารถจับมันมาเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ $A\vec{x} = \vec{y}$ ได้ ซึ่งก็คือ

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} \tag{1}\label{eq:system-equations}\]

ในทางปฏิบัติ (ที่มีการแทนค่า $a_{ij}$ เป็นตัวเลขมาเรียบร้อยแล้ว) เราก็แค่ทำการกำจัดแบบ Gauss-Jordan บนตัวเมทริกซ์ดังกล่าว นั่นคือเริ่มจากสร้างเมทริกซ์แต่งเติม $[A \mid \vec{y}]$ มาก่อน แล้วแก้เมทริกซ์จนฝั่งซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ เราก็จะได้ว่าฝั่งขวาของเมทริกซ์จะกลายเป็นคำตอบของระบบสมการนั่นเอง

\[\left[ \begin{array}{cccc:c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & y_1 \\ a_{21} & a_{22} & & a_{2n} & y_2 \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & y_n \end{array} \right] \quad\xrightarrow{\text{row ops}}\quad \left[ \begin{array}{cccc:c} 1 & 0 & \cdots & 0 & x_1 \\ 0 & 1 & & 0 & x_2 \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & x_n \end{array} \right]\]

ในทางทฤษฎีที่เรามองว่า $a_{ij}$ เป็นตัวแปร เราก็ยังสามารถแก้เมทริกซ์ดังกล่าวจนไปถึงคำตอบได้อยู่ดี แต่ความแย่ก็คือคำตอบที่ได้จะติดตัวแปรยุบยับเต็มไปหมด – พูดอย่างเจาะจงคือ ที่แต่ละคำตอบ $x_i$ จำนวนพจน์ที่บวกลบบนตัวแปร $a_{ij}$ ก็มีจำนวนเป็น $O(n!)$ พจน์แล้ว

อย่างไรก็ตาม คำตอบเชิงทฤษฎีที่ติดตัวแปรจำนวนมากเช่นนี้ก็ไม่ได้แย่ไปหมดซะทีเดียว เพราะมันก็ยังสามารถลดรูปลงมาให้จดจำเข้าใจง่ายได้อยู่ โดยเราจะดึงเอาแนวคิดของการเขียนทับเมทริกซ์มาช่วย เราจะพูดว่าเมทริกซ์ $M$ ถูกแก้ไขค่าในหลักที่ $k$ ด้วยการนำเวกเตอร์ $\vec{v}$ เขียนทับลงไป ดังนี้

\[M(k:\vec{v}) = \begin{bmatrix} m_{1,1} & \cdots & m_{1,k-1} & {\color{red}v_1} & m_{1,k+1} & \cdots & m_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & {\color{red}\vdots} & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n,1} & \cdots & m_{n,k-1} & {\color{red}v_n} & m_{n,k+1} & \cdots & m_{n,n} \end{bmatrix}\]

เช่นนี้แล้วเราจะได้คำตอบของระบบสมการที่สรุปสั้นๆ ผ่านดีเทอร์มิแนนต์ได้ว่าคือ

\[x_k = \frac{\det A(k:\vec{y})}{\det A} \tag{2}\label{eq:cramer}\]

ตัวอย่างเช่น $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $2{\times}2$ เราจะได้

\[\begin{align} x_1 &= \det\begin{bmatrix} {\color{red}y_1} & a_{12} \\ {\color{red}y_2} & a_{22} \end{bmatrix} / \det\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = \frac{y_1a_{22} - y_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}} \\ x_2 &= \det\begin{bmatrix} a_{11} & {\color{red}y_1} \\ a_{21} & {\color{red}y_2} \end{bmatrix} / \det\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = \frac{a_{11}y_2 - a_{21}y_1}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}} \end{align}\]

การพิสูจน์ก็น่าจะมีหลากหลายวิธี แต่อันที่ผมไปเจอมาแล้วรู้สึกเข้าใจได้ง่ายสุดคงหนีไม่พ้นคำตอบของคุณ Rene Schipperus ที่เริ่มจากการเปลี่ยน $\vec{x}$ ในสมการที่ $\eqref{eq:system-equations}$ ให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ถูกเขียนทับด้วย $\vec{x}$ แทน ซึ่งจะเห็นว่าเวกเตอร์ $\vec{y}$ เดิมด้านขวามือของสมการก็จะเปลี่ยนไปเป็นเมทริกซ์เช่นกัน

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & & {\color{red}\vdots} & & \\ & 1 & {\color{red}x_{k-1}} & 0 & \\ \cdots & 0 & {\color{red}x_k} & 0 & \cdots \\ & 0 & {\color{red}x_{k+1}} & 1 & \\ & & {\color{red}\vdots} & & \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & & {\color{red}\vdots} & & \\ & a_{k-1,k-1} & {\color{red}y_{k-1}} & a_{k-1,k+1} & \\ \cdots & a_{k,k-1} & {\color{red}y_k} & a_{k,k+1} & \cdots \\ & a_{k+1,k-1} & {\color{red}y_{k+1}} & a_{k+1,k+1} & \\ & & {\color{red}\vdots} & & \\ \end{bmatrix}\]

หรือก็คือ $AI(k:\vec{x}) = A(k:\vec{y})$ นั่นเอง

ซึ่งเหตุผลที่เราเลือกเอา $\vec{x}$ ไปเขียนทับบนเมทริกซ์เอกลักษณ์เช่นนั้น ก็เพราะว่า

\[\det I(k:\vec{x}) = x_k\]

และก็เพราะว่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ จึงทำให้เราได้ข้อสรุปตามสมการ $\eqref{eq:cramer}$ ในที่สุด

ผลลัพธ์สมการ $\eqref{eq:cramer}$ นี้เรียกว่ากฎของ Cramer และถึงแม้มันจะดูเรียบง่ายสวยงาม (จนไปถึงขั้นน่าทึ่งว่าอยู่ดีๆ ก็มีดีเทอร์มิแนนต์หลุดออกมาได้ไง) แต่ก็มีคนให้ข้อสังเกตว่า ถ้าไล่ดูตามประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ตะวันตก ดีเทอร์มิแนนต์นี่เป็นผลลัพธ์โดยตรงจากการพยายามแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปรตามข้างต้นเลย

และถ้าเรายังจำกันได้ว่า คำตอบของแต่ละ $x_k$ มันถูกเขียนอยู่ในรูปผลรวมที่มีจำนวน $O(n!)$ พจน์ นั่นเพราะจริงๆ แล้วค่า $\det A$ เป็นผลรวมที่แต่ละพจน์ถูกเขียนอยู่ในรูปของ $\prod_{k=1}^n a_{k,\ell_k}$ โดยที่ $\ell_u=\ell_v$ เมื่อและก็ต่อเมื่อ $u=v$ ดังนั้นมันก็คือการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ $n$ ชิ้นที่มีวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมด $n!$ แบบ ซึ่งตีความได้ว่าเมื่อเราหยิบ $a_{ij}$ มาใช้แล้ว เราจะไม่สามารถหยิบช่องอื่นในเมทริกซ์ตรงหลักที่ $i$ หรือแถวที่ $j$ มาใช้งานได้อีก (สะท้อนผ่านไมเนอร์/โคแฟคเตอร์ว่าทำไมเราถึงต้องทำลายหลักที่ $i$ และแถวที่ $j$ ทิ้ง) ส่วนการที่บางพจน์นั้นเป็นบวกหรือลบก็เป็นไปในทำนองเดียวกับหลักการเพิ่มเข้าและตัดออกเพื่อดุลค่าของเมทริกซ์นั่นเอง

รู้สึกว่าเป็นเรื่องที่ต้องมือเปื้อนด้วยตัวเองตั้งแต่ต้นถึงจะเก็ต ถ้าโผล่มาเจอนิยาม/สูตรดีเทอร์มิแนนต์เลยนี่โคตรงง … จริงๆ อยากเอากระดาษทดตรงช่วงที่โซ้วสมการเมทริกซ์มาลงด้วย แต่คิดว่าปล่อยไว้เป็นการบ้านน่าจะเป็นผลดีกับผู้อ่านมากกว่า 5555555