เรื่องของเรื่องคือปีก่อนไปเที่ยวญี่ปุ่นแล้วซื้อ ポリドロン ซึ่งเป็นของเล่นเชิงเรขาคณิตติดไม้ติดมือกลับมา แต่ด้วยความที่ยุ่งๆก็เลยไม่มีเวลาจับประกอบมันเล่นซักที จนกระทั่งสัปดาห์ก่อนไปเข้าค่ายเรขาคณิตที่ปีนี้มหาวิทยาลัยเชียงใหม่เป็นเจ้าภาพ เลยได้ฤกษ์หยิบเจ้าตัวต่อชุดนี้มาปัดฝุ่นเล่นดูซักหน่อย โดยตอนแรกก็กะว่าจะแค่ต่อรูปทรงอะไรที่ซับซ้อนนิดหน่อยแต่ก็ยังคงไว้ซึ่งความสวยงาม … กลายเป็นว่ารู้ตัวอีกทีก็ไปข้องเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟซะแล้ว 🤣

ของเล่นจากญี่ปุ่น

ポリドロン หรือ Polydron จริงๆแล้วเป็นของเล่นที่มีต้นกำเนิดจากเกาะอังกฤษ โดยเป็นของเล่นที่มีเป้าหมายในการช่วยการศึกษาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคือในเรื่องรูปทรงเรขาคณิต เท่าที่ไล่อ่านมาเหมือนว่าวงการการศึกษาญี่ปุ่นได้ซื้อลิขสิทธิ์ของเล่นชิ้นนี้มาแปลเป็นภาษาญี่ปุ่นและทำบทเรียนเพิ่มเติมเองด้วย

หนังสือคู่มือตัวต่อ Polydron และตัวอย่างรูปทรงพื้นฐานที่ต่อเสร็จแล้ว

ตัวของเล่นชิ้นนี้มันมีลักษณะเป็นตัวต่อหลากสีจำนวนหลายชิ้น (แนวคิดคล้ายๆกับ LEGO แต่ชิ้นส่วนพื้นฐานไม่ได้เป็น “ก้อนอิฐ” ขนาดเล็กจิ๋ว) โดยแต่ละชิ้นส่วนพื้นฐานนั้นเป็นทรงปรกติแบนราบขนาด $n$-เหลี่ยม นั่นก็คือ แต่ละด้านมีความยาวเท่ากันหมด มุมระหว่างด้านก็มีขนาดเท่ากันหมด ที่สำคัญคือมุมต้องไม่เล็กเกินไปจนทำให้ด้านทับกันอีกด้วย รูปทรงเหล่านี้ก็คือรูปทรงพื้นฐานที่เรารู้จักกันดี เช่น สามเหลี่ยมด้านเท่า สี่เหลี่ยมจัตุรัส ห้าเหลี่ยมด้านเท่า หกเหลี่ยมด้านเท่า (เอาจริงๆเค้ามีตัวต่อแบบที่ด้านยาวไม่เท่ากัน/มุมทำขนาดไม่เท่ากันขายแยกด้วย แต่ส่วนตัวไม่ได้เพิ่มเงินไปซื้อเวอร์ชันนั้น)

เปิดสมุดคู่มือที่แถมมากับตัวต่อดูแล้วก็อยากต่อรูปทรงบักกี้บอล (ห้าเหลี่ยม 12 ชิ้น และหกเหลี่ยม 20 ชิ้น) ใจจะขาด แต่พอนั่งนับตัวต่อในกล่องแล้วพบว่าเค้าให้ชิ้นส่วนหกเหลี่ยมมาไม่ถึง 20 ชิ้น… แปลว่าถ้าอยากต่อรูปทรงนี้ก็ต้องไปซื้อชิ้นส่วนเพิ่ม 55555555 (หรือไม่งั้นก็ใช้สามเหลี่ยม 6 ชิ้นมาจำลองเป็นหกเหลี่ยม 1 ชิ้น ซึ่งส่วนตัวลองทำดูแล้วแอบรู้สึกว่ายังได้ผลลัพธ์ไม่สวยเท่าไหร่)

หลังจากง่วนกับการไล่ดูรูปทรงเพลโตและรูปทรงอาร์คิมิดีส ก็มาลงเอยกับทรงสิบสองหน้าขอบบิด (ต่อไปนี้จะขอเรียกว่า “ลูกบอลขอบบิด”) ที่ประกอบไปด้วยห้าเหลี่ยม 12 ชิ้น และสามเหลี่ยมอีก 80 ชิ้น ซึ่งในกล่องก็มีชิ้นส่วนตัวต่อเหล่านี้ให้ครบพอดี! … เว้นเสียแต่ว่าเจ้าสามเหลี่ยมจำนวน 80 ชิ้นนั้นมันไม่ได้เป็นสีเดียวกันทั้งหมดเนี่ยสิ หลังจากต่อมั่วๆจนเสร็จไปรอบนึงแล้วก็พบว่าผลลัพธ์ที่ได้ไม่สวยถูกใจเท่าที่ควร

ระบายสีลูกบอล

พอนั่งรื้อเจ้าลูกบอลขอบบิดนี้ออกมาตั้งใจนับ ก็พบว่ามีสามเหลี่ยมอยู่ทั้งหมด 4 สี 🔴🟢🔵🟡 สีละ 20 ชิ้นพอดี (ส่วนห้าเหลี่ยมทั้ง 12 ชิ้นนั้นมีสีเดียวคือสีเขียว 🟢) … ใครอ่านมาถึงตรงนี้ก็น่าจะเกิดไอเดียบรรเจิดในทำนองเดียวกันว่า งั้นเราสามารถสร้างลูกบอลขอบบิดโดยที่ใช้สามเหลี่ยมแต่ละสีอย่างเป็นระเบียบได้หรือเปล่า? เช่น เราอาจวางแผนว่าจะต่อตัวต่อเช่นนี้

1. เริ่มจากสนใจที่ชิ้นส่วนห้าเหลี่ยมหนึ่งชิ้น
2. ต้องการนำสามเหลี่ยมหลายชิ้นมาต่อล้อมรอบห้าเหลี่ยมดังกล่าว
3. ไล่ต่อสามเหลี่ยมแต่ละชิ้นวนรอบห้าเหลี่ยม โดยไล่ไปตามสีที่มี 🔴🟢🔵🟡

น่าเสียดายว่าแผนการต่อแบบนี้มันไม่สามารถร้อยเรียงสีสันให้สวยงามได้ เพราะว่าเรามีสามเหลี่ยมล้อมรอบห้าเหลี่ยมเป็นจำนวนคี่ (มี 5 ชิ้นที่อยู่ติดกันผ่านขอบ และอีก 10 ชิ้นที่อยู่ติดกันผ่านจุดยอด) แต่ว่าเรามีสีทั้งหมดเป็นจำนวนคู่ นั่นคือเราไม่สามารถใช้สีแต่ละสีเป็นจำนวนเท่ากันได้

จากซ้ายไปขวา: บอลขอบบิด บอลเปียกปูน และทรงสิบสองหน้า – ภาพจาก WikiPedia

ระหว่างที่กำลังหมดหวังอยู่นั้นเอง ก็ระลึกขึ้นมาได้ว่า รูปทรงสิบสองหน้าขอบบิดที่เราต้องการ จริงๆแล้วมันสามารถสร้างขึ้นมาจากรูปทรงเพื่อนบ้านได้ นั่นก็คือรูปทรงขนมเปียกปูนแบบยี่สิบและสิบสองหน้า (เป็นชื่อเรียกที่น่าสยองเอาเรื่อง แต่โดยใจความแล้ว มันคือรูปทรงที่มีหน้าแตกต่างกันสามแบบ ได้แก่: ห้าเหลี่ยม 12 ชิ้น สามเหลี่ยม 20 ชิ้น และจัตุรัสอีก 30 ชิ้น; อนึ่ง ต่อไปนี้จะขอเรียกรูปทรงนี้ว่า “ลูกบอลเปียกปูน”) โดยการสร้างลูกบอลขอบบิดของเรานั้น ก็ทำได้จากการนำลูกบอลเปียกปูนมา “บิด” ขอบนั่นเอง

พูดให้ละเอียดขึ้นไปอีกก็คือ จากลูกบอลเปียกปูน เราจะแตกสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละชิ้นให้กลายเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองชิ้น แล้วบิดรูปทรงลูกบอลนี้ทั้งลูก โดยที่ตรึงรูปห้าเหลี่ยมและสามเหลี่ยมด้านเท่าไว้ให้มีขนาดเดิมตลอดเวลา แต่เปลี่ยนความยาวด้านและมุมของสามเหลี่ยมที่แตกออกมาจากสี่เหลี่ยมตามที่เราบิด จนเมื่อเราบิดลูกบอลจนทุกหน้าสามเหลี่ยมกลายเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า เราก็จะได้รูปทรงลูกบอลขอบบิดนั่นเอง (และแน่นอนว่าเราสามารถย้อนกลับกระบวนการนี้ได้)

เพราะฉะนั้นเราอาจแปลงปัญหาการต่อลูกบอลขอบบิดให้กลายเป็นปัญหาการต่อลูกบอลเปียกปูนก็ได้ นั่นคือ

• ใช้สามเหลี่ยมสองชิ้นมาจำลองเป็นสี่เหลี่ยมปลอมหนึ่งชิ้น โดยที่เราจะสร้างสี่เหลี่ยมปลอมทิ้งไว้ทั้งหมด 30 ชิ้น แบ่งเป็น 🔴🔵🟡 สีละ 10 ชิ้น
• ส่วนสามเหลี่ยมจริงๆที่เหลืออีก 20 ชิ้น เราจะเลือกใช้ 🟢 ซึ่งเป็นสีเดียวกันกับหน้าห้าเหลี่ยม นั่นก็เพราะว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้อยู่ติดห้าเหลี่ยมผ่านจุดยอดเท่านั้น

จะเห็นว่าเราใช้ตัวต่อสามเหลี่ยมจำนวนสีละ 20 ชิ้นพอดิบพอดี!

พอแปลงปัญหาเป็นแบบนี้ได้แล้ว (สามเหลี่ยม 20 ชิ้นที่รายล้อมด้วยสี่เหลี่ยม 30 ชิ้น) มันจึงเป็นธรรมชาติมากๆที่เราอยากจะตั้งเงื่อนไขเพิ่มเติมเข้าไปว่า แต่ละหน้าสามเหลี่ยมจะต้องถูกรายล้อมด้วยสี่เหลี่ยมที่มีสีแตกต่างกันทั้งหมด แน่นอนว่าคำถามแรกก็คือเราทำได้หรือไม่? จากการลองผิดลองถูกอย่างรวดเร็ว ก็ตอบได้อย่างมั่นใจว่าทำได้! แถมยังได้ผลลัพธ์ที่สวยงามอีกด้วย 🎉

ลูกบอลขอบบิด Polydron ที่แต่ละหน้าสามเหลี่ยมสีเขียวจะมีสี่เหลี่ยมปลอมอยู่ติดกับมันครบทั้งสามสี

วิธีระบายสีที่แตกต่างกัน

หลังจากได้คำตอบแรกมาแล้ว คำถามที่ตามมาอย่างเป็นธรรมชาติก็คือ แล้วมันมีกี่วิธีที่เราจะต่อลูกบอลขอบบิด/ลูกบอลเปียกปูนที่มีการสลับสีสันสวยงามเช่นนี้ได้?

คิดอย่างเร็วๆเราอาจตอบว่ามันต้องมีหลายวิธีแน่ๆ เช่น การสับเปลี่ยนชื่อสี 🔴🔵🟡 ซึ่งแม้ว่ามันจะทำให้ดูเหมือนมีวิธีอยู่มากมาย แต่หากดูให้ลึกเข้าไปแล้วจะเห็นว่าโครงสร้างมันไม่เปลี่ยนเลย เราจะไม่นับว่าการสลับแค่ชื่อสีเช่นนี้เป็นวิธีที่แตกต่างกัน

เช่นเดียวกันกับการหมุนหรือสะท้อนลูกบอลผ่านกระจกแล้วยังได้ผลลัพธ์เป็นรูปเดียวกัน (ซึ่งจะเริ่มคำนวณจับคู่เพื่อเปรียบเทียบว่าลูกบอลสองลูกนั้น “เหมือนกัน” ได้ยากกว่าแค่การเปลี่ยนชื่อสีแล้ว) เราก็จะไม่นับว่าการดำเนินการเหล่านี้เป็นวิธีที่แตกต่างกัน

สรุปคือเราอยากนับจำนวนโครงสร้างที่แตกต่างกันทั้งหมดของการระบายสีลูกบอลด้วยสีสันเหล่านี้ ซึ่งก็คือเราจะไม่นับการหมุน/สะท้อน/สลับสีว่าเป็นวิธีที่แตกต่างกันนั่นเอง

มาทดลองระบายสีลูกบอลกันเถอะ คลิกเพื่อลงสี ลากเพื่อหมุนลูกบอล กดที่นี่เพื่อรีเซ็ตสี

นั่นสินะ… แล้วเราจะคำนวณโดยง่ายได้อย่างไรว่าลูกบอลสองลูกใดๆถือว่าแตกต่างกัน?

หากเรากลับไปดูลูกบอลผลลัพธ์ที่เราประกอบขึ้นมา เราอาจสังเกตคุณลักษณะจากหน้าสามเหลี่ยมต่างๆได้ นั่นคือ การดูว่าสีของสี่เหลี่ยมที่รายล้อมนั้นหมุนวนไปในทิศทางใด โดยเราจะกล่าวว่าสามเหลี่ยมหน้าที่สนใจมีการเรียงสีทวนเข็มนาฬิกาเมื่อสี่เหลี่ยมเรียงสี 🔴🔵🟡 ไล่ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา และเรียกว่าตามเข็มนาฬิกาเมื่อสี่เหลี่ยมเหล่านั้นเรียงสลับไปอีกด้าน

เมื่อเรานับจำนวนทิศการหมุนทั้งสองทิศบนทุกหน้าสามเหลี่ยมของลูกบอล หากลูกบอลสองลูกมีจำนวนการหมุนแตกต่างกัน เราสามารถบอกได้ทันทีว่าลูกบอลสองลูกนั้นแตกต่างกัน (แต่หากจำนวนการหมุนมีเท่ากัน เรายังสรุปไม่ได้ทันที เพราะตำแหน่งของสามเหลี่ยมอาจแตกต่างกันก็ได้) อนึ่ง เนื่องจากว่าเรายินยอมให้มีการสะท้อน จำนวนของการทวนเข็มและตามเข็มจึงสลับกันได้ ในที่นี้เราจะสนใจกรณีที่จำนวนการหมุนทวนเข็มมีจำนวนมากกว่าหรือเท่ากับการหมุนตามเข็ม

ด้วยแนวคิดคุณลักษณะทิศทางการหมุนดังกล่าว เราจะสกัดข้อมูลของลูกบอลที่เราสร้างเป็นตัวอย่างได้ว่า มีหน้าทวนเข็มอยู่ทั้งหมด 16 หน้า และอีก 4 หน้าที่เหลือเป็นแบบตามเข็ม … ซึ่งก็เป็นผลลัพธ์ตัวเลขที่น่าแปลกใจอยู่ไม่น้อย และทำให้เกิดคำถามตามมาว่า เราสามารถทำให้เป็นหน้าทวนเข็มไปทั้งหมดเลย 20 หน้าได้หรือเปล่า? หรือทำให้มีหน้าทวนเข็มกับตามเข็มเท่ากันพอดีได้ไหม? อัตราส่วน 16:4 นี้มีความพิเศษอะไรหรือไม่?

ในกรณีของ 20 หน้าทวนเข็มทั้งหมดนั้น ง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าทำไม่ได้แน่นอน เพราะเราสามารถทดลองสร้างลูกบอลได้อย่างรวดเร็วโดยบังคับให้ทุกหน้าต้องเรียงสีหมุนทวนเข็มไปเลย ซึ่งจะเห็นได้ในเวลาไม่นานว่าจะมีสีที่หมุนมาขัดกันเอง

ข้อขัดแย้งจากการระบายสีทวนเข็มทั้งหมด จะเห็นว่าสามเหลี่ยมเบอร์ 5 ไม่สามารถถูกระบายสีทวนเข็มได้

แต่กับคำถามว่าเราสามารถระบายสีแบบทวนเข็มและตามเข็มเป็นจำนวนเท่ากันได้หรือไม่นั้นตอบได้ยากกว่ามากๆ นั่นเพราะในแต่ละหน้าสามเหลี่ยมที่เราต้องตัดสินใจว่าจะระบายสีไปในทิศทางใดนั้น เรามีตัวเลือกให้ระบายสีได้ทั้ง 2 ทิศทาง จึงทำให้จำนวนวิธีที่เราต้องทดลองทั้งหมดเติบโตเป็นเอกซ์โพเนนเชียลหากเราไม่รีบตัดวิธีที่เป็นไปไม่ได้ทิ้งไปตั้งแต่เนิ่นๆ

เช่นนั้นแล้วเราควรเขียนโปรแกรมเพื่อช่วยแก้ปัญหานี้ โดยแทนที่จะเขียนให้มันทดลองหาอัตราส่วนทวนเข็มต่อตามเข็มแค่แบบใดแบบหนึ่ง เราจะมองภาพใหญ่กว่านั้นแล้วทดลองสร้างลูกบอลทุกรูปแบบที่เป็นไปได้มาก่อนเลย แล้วจึงไล่โยนวิธีที่ถือว่าซ้ำกัน (หมุน/สะท้อน/สลับสี) ทิ้งไป … ซึ่งแค่คิดก็เริ่มเหนื่อยแล้ว เพราะมันมีความยุ่งยากในแง่ที่ว่าเราต้องจับสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมห้าเหลี่ยมมาประกอบกัน มันมีวิธีที่ทำให้ปัญหานี้ง่ายลงหรือไม่?

มองปัญหาให้เป็นกราฟ

กลับไปมองที่ลูกบอลเปียกปูน เราอาจลองจินตนาการว่า: รูปห้าเหลี่ยมทุกรูปถูกขยายใหญ่ขึ้นเรื่อยๆในอัตราเท่ากัน จึงทำให้รูปสี่เหลี่ยมถูกบีบให้แคบลงเรื่อยๆ (เป็นสี่เหลี่ยมที่แหลมยาว) ในขณะที่สามเหลี่ยมก็เล็กลงเช่นกัน (แต่ยังลดลงอย่างเท่ากันในทุกทิศทาง) จนเมื่อเราขยายห้าเหลี่ยมได้ใหญ่ที่สุดจนมันชนกัน สี่เหลี่ยมทั้ง 30 ชิ้นจะลดรูบกลายเป็นเส้นขอบของห้าเหลี่ยม และสามเหลี่ยมอีก 20 ชิ้นก็จะลดรูปกลายเป็นจุดยอดของห้าเหลี่ยมนั่นเอง

พูดอีกอย่างได้ว่า ลูกบอลเปียกปูนนั้นสามารถแปลงไปเป็นทรงสิบสองหน้าได้!

ยิ่งไปกว่านั้น เพื่อความสะดวก เราสามารถละทิ้งโครงสร้างทางเรขาคณิตของทรงสิบสองหน้าไปชั่วขณะ และมองมันให้เป็นกราฟก็เพียงพอแล้ว และเนื่องจากว่ากราฟของทรงสิบสองหน้านี้สามารถวาดเป็นกราฟเชิงระนาบได้ ดังนั้นเราจะได้ภาพวาดที่เรียบง่ายไม่มีเส้นเชื่อมตัดกันให้ชวนสับสน

ที่สำคัญคือ กราฟนี้มีดีกรี 3 ที่ทุกจุดยอด และทุกหน้าในรูปทรงสามมิติก็กลายเป็นหน้าในกราฟที่มีความยาว 5 เท่ากันหมดอีกด้วย เราไม่ต้องปวดหัวกับการมีรูปทรงหลายแบบปนกันอีกแล้ว

ในทางทฤษฎีกราฟ ปัญหาตั้งต้นที่เราต้องการประกอบตัวต่อให้เรียงสีสันได้สวยงามก็จะแปลงไปเป็นปัญหาการระบายสีเส้นเชื่อม โดยที่เราต้องการใช้สี 3 สีมาระบายเส้นเชื่อมโดยที่ให้แต่ละจุดยอดมีเส้นเชื่อมครบทั้ง 3 สีมาบรรจบกัน

ถึงตรงนี้ก็เหลือแค่เขียนโปรแกรมให้มันทดลองระบายสีเส้นเชื่อมทุกรูปแบบที่เป็นไปได้ โดยทางหนึ่งที่ง่ายต่อการเขียนโปรแกรมก็คือเริ่มจากเลือกจุดยอดมาหนึ่งจุด แล้วลงสีเส้นขอบ 3 เส้นที่ติดกับมันด้วยสีที่แตกต่างกันทั้ง 3 สีไปเลย หลังจากนั้นจึงทดลองระบายสีไปเรื่อยๆจนได้ลูกบอลทั้งลูกที่ไม่มีสีขัดแย้งกัน (หากเจอสีขัดแย้งก็โยนทิ้งเลย)

เมื่อได้ลูกบอลที่ระบายสีครบทุกเส้นแล้ว ทดลองสลับชื่อสีทั้งหมด (ทั้ง $3!$ รูปแบบ) และทดลองหมุน/สะท้อนลูกบอลในทุกทิศทาง (120 แบบ) ซึ่งจะทำให้เราได้กราฟสมสัณฐานทั้งหมดของลูกบอลนี้ เราจะเก็บแค่คำตอบพื้นฐานที่สุดซึ่งเป็นตัวแทนของการระบายสีแบบนี้ (โค้ดอยู่ที่นี่)… ซึ่งก็จะให้คำตอบเราว่า มีวิธีการระบายสีกราฟเพียงแค่วิธีเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือวิธีที่มีการทวนเข็ม 16 ครั้งและตามเข็ม 4 ครั้ง!!!

ผลลัพธ์การระบายสีเส้นเชื่อมโดยโปรแกรม ซึ่งจากทุกรูปแบบที่โปรแกรมพบนั้น สามารถลดรูปลงมาเหลือเพียงวิธีเดียว

อัตราส่วน 16:4 ที่งดงาม

แล้วทำไมอัตราส่วนที่ได้ถึงเป็น 16:4 เพื่อจะตอบคำถามนี้ เราจะย้อนกลับไปดูความพยายามในการระบายสีเรียงทวนเข็มบนทุกจุดยอดของหน้าห้าเหลี่ยมหน้าหนึ่ง จะเห็นว่าเราไม่สามารถหมุนวนทวนเข็มได้ครบทุกจุดยอดทั้ง 5 จุดได้ เพราะการหมุนทวนเข็มที่จุดยอดสุดท้ายจะไปขัดแย้งกับการทวนเข็มของจุดยอดแรกสุด (สามหารห้าไม่ลงตัว) นั่นคือเราจะโดนบังคับให้ต้องหมุนทวนเข็ม 4 ครั้งและหมุนตามเข็ม 1 ครั้งเพื่อให้จำนวนการหมุนทั้งหมดวกกลับมายังจุดเริ่มต้น หรือพูดอีกอย่างก็คือ

\[CCW - CW \equiv 0 \pmod{3}\]

โดยที่

• $CCW$ คือจำนวนครั้งที่หมุนทวนเข็มในหนึ่งหน้าห้าเหลี่ยม
• $CW$ คือจำนวนครั้งที่หมุนตามเข็มในหนึ่งหน้าห้าเหลี่ยม
• และมีข้อบังคับว่า $CCW + CW = 5$

นี่คือข้อสรุปสำหรับหนึ่งหน้าห้าเหลี่ยม ซึ่งสมการสมภาคดังกล่าวยังแสดงให้เห็นว่าเราไม่สามารถมีการหมุนแบบอื่นๆ เช่น หมุนทวนเข็ม 3 ครั้งปนกับการหมุนตามเข็ม 2 ครั้งได้อีกด้วย อัตราส่วนการหมุนทวนเข็มต่อตามเข็มบนหนึ่งหน้าสามารถเป็นได้แค่ 4:1 หรือ 1:4 เท่านั้น

ถึงตรงนี้ เราอาจแปลงปัญหานี้ได้อีกครั้งหนึ่ง! นั่นคือเราจะสนใจการระบายสีจุดยอดของทรงสิบสองหน้าแทน โดยเราจะใช้สีสองสีที่มีกฎการระบายสีว่า ทุกหน้าห้าเหลี่ยมต้องระบายสีจุดยอดในอัตราส่วน 4:1 หรือ 1:4 สำหรับบทความนี้เราเลือกใช้สีทั้งสองคือ

1. สี 🟠 แทนการหมุนทวนเข็ม
2. สี 🟣 แทนการหมุนตามเข็ม

เราจะเริ่มจากระบายสีจุดยอด 5 จุดรอบห้าเหลี่ยมหน้าแรกด้วยอัตราส่วน 🟠:🟣 เป็น 4:1 หลังจากนั้น เราจะสนใจหน้าห้าเหลี่ยมอีก 2 หน้าที่ถูกระบายสีจุดยอดด้วยสี 🟣 ไปแล้ว แต่ยังไม่ได้ระบายสีจุดยอดที่เหลือจนครบ ซึ่งเราจะแตกกรณีได้ 3 กรณี

ทั้ง 3 กรณีของการระบายสีจุดยอดรอบห้าเหลี่ยมอีก 2 หน้า

นั่นคือ

1. ระบายสี 4:1 กับ 1:4 ปนกันในหน้าห้าเหลี่ยมทั้งสอง จะมีจุดยอดที่เกิดข้อขัดแย้ง
2. ระบายสีทั้งคู่ด้วย 1:4 ถึงจะยังไม่เกิดข้อขัดแย้งเมื่อพิจารณาเพียง 3 หน้า แต่เมื่อไล่ระบายสีตามข้อบังคับในแนว “เส้นศูนย์สูตร” ไปจนวนครบรอบ ก็จะเกิดข้อขัดแย้งที่ “ขั้วโลก” ทั้งสองในภายหลัง
3. ระบายสีทั้งคู่ด้วย 4:1 จะทำให้เราได้โครงสร้างที่น่าสนใจ ซึ่งก็คือห้าเหลี่ยมทั้ง 3 หน้า (รวมหน้าแรกสุดที่ระบายสีทิ้งไว้ก่อน) จะมีจุดยอดบนขอบนอกทั้งหมดเป็นสี 🟠 หรือก็คือเป็นการหมุนทวนเข็มทั้งหมด

หรือก็คือ เราต้องบังคับให้ทุกหน้าห้าเหลี่ยมระบายสีจุดยอดด้วยอัตราส่วน 4:1 เท่านั้น

เนื่องจากทุกหน้าห้าเหลี่ยมจะต้องมี 🟣 หนึ่งจุด และจุด 🟣 จุดนั้นจะ “ถูกซ่อน” อยู่ภายในห้าเหลี่ยม 3 อัน ดังนั้นจากหน้าห้าเหลี่ยมทั้งหมด 12 หน้า เราจึงต้องมี 🟣 เป็นจำนวน $12 / 3 = 4$ จุดนั่นเอง

หน้าห้าเหลี่ยมกลุ่มละ 3 หน้า ทั้งหมด 4 กลุ่ม ประกอบเป็นทรงสิบสองหน้า

นี่เป็นเหตุผลว่าทำไมเราถึงมีอัตราส่วนการระบายสีทวนเข็มต่อตามเข็ม (🟠:🟣) ของทั้งรูปทรงเป็น 16 ต่อ 4 นั่นเอง ยิ่งไปกว่านั้น หากเราลากเส้นเชื่อมจุดยอดที่หมุนตามเข็ม (🟣) เราก็จะได้ทรงสี่หน้าอีกด้วย!

นับว่าเป็นความสวยงามทางเรขาคณิตที่แสนบันเทิงเริงใจในวันหยุดที่ผ่านมาจริงๆ 😊